techniek

1. Teken de volledige diagonalen, ab en de bijbehorende lijnen.

2. Teken vanuit het snijpunt van de volledige diagonaal (het middelpunt van het vierkant) de halve transversaal naar c en de halve orthogonaal vanuit het hoofdpunt door d . Markeer de vier snijpunten met de zijden van het vierkant, c en d en de tegenoverliggende punten (zwart).

3. Construeer twee kwartdiagonalen, c naar d , die elkaar aan de tegenoverliggende zijde kruisen. Construeer de twee kwartorthogonalen vanuit het hoofdpunt door het snijpunt e en zijn tweeling.

4. Construeer vanuit de snijpunten van de kwartorthogonalen met de volledige diagonalen, zoals e , de kwarttransversalen. Het projectievierkant is nu verdeeld in zestien kleinere vierkanten.

5. Teken de twee rechthoekige diagonalen vanuit elke hoek van het vierkant naar het snijpunt met de dichtstbijzijnde kwartlijn met de tegenoverliggende zijde van het vierkant: dat wil zeggen, van a naar g tegenoverliggend, van h naar f tegenoverliggend, en op dezelfde manier voor de andere zes rechthoekige diagonalen.

6. Markeer bij elke hoek het snijpunt van de rechthoekige diagonalen vanuit die hoek met de dichtstbijzijnde kwart-orthogonale of kwart-transversale lijn: dat wil zeggen x en y voor hoek a , en op dezelfde manier voor de andere drie hoeken (zwart).

7. Verbind tot slot de twaalf punten, uit de vrije hand of met een Franse curve, om de cirkel te vormen.

Deze methode is "vrijwel perfect", omdat de punten x en y zich iets buiten een perfecte cirkel bevinden, zoals in het diagram te zien is. Dit is echter niet van belang bij het werken met kleine figuren of sterk verkorte figuren; of de cirkel kan zo getekend worden dat de twee hoekpunten net niet worden geraakt. 

Cirkel met een plan . Het gebruik van een plan resulteert in een iets nauwkeurigere set richtlijnen en vereist bovendien minder richtlijnen om te definiëren. Het onderstaande diagram illustreert de procedure.

een cirkel projecteren met een plattegrond

Begin met een willekeurig vierkant dat in perspectief is getekend op de juiste schaal, locatie en kijkhoek. De cirkel definieert een vlak, en de verdwijnlijn voor dit vlak moet beschikbaar zijn, hetzij als hoofdpunt en diagonaal verdwijnpunt, hetzij als sturend verdwijnpunt(en). Een diagonaal verdwijnpunt is alleen nodig om het vierkant in de diepte te definiëren. Vervolgens:

1. Definieer in het plattegrond (projectievierkant) en het beeldvierkant de volledige diagonalen, ab en de bijbehorende diagonalen.

2. Verdeel in het plattegrond- en beeldvierkant het vierkant in tweeën door een loodrechte lijn (plattegrond) of een lijn loodrecht op het hoofdpunt (beeld) door het snijpunt van de volle diagonalen. Verdeel het vierkant vervolgens opnieuw door een loodrechte horizontale lijn (plattegrond) of een transversale lijn (beeld). Markeer de vier punten waar deze lijnen het vierkant snijden, c en d, en de tegenoverliggende punten (zwart).

3. Construeer twee kwartdiagonalen, c naar d , die elkaar aan de tegenoverliggende zijde kruisen. Construeer de twee kwartorthogonalen vanuit het hoofdpunt door het snijpunt e en zijn tweeling.

4. Trek vanuit het snijpunt van de kwartdiagonaal en de volledige diagonaal ( e en een overeenkomstige lijn aan de overkant) een horizontale lijn naar de zijkant van het vierkant. Deze lijn snijdt de cirkel in f en een overeenkomstige lijn aan de overkant.

5. Markeer het snijpunt van de cirkel met de volledige diagonaal bij g en aan de overkant.

6. Gebruik acht verticale lijnen om de acht punten d , b , a , g , f , e en e te verplaatsen en te laten overeenkomen met de projectielijn. Projecteer vervolgens met behulp van orthogonale lijnen naar het hoofdpunt. Gebruik de snijpunten van de orthogonale lijnen met de diagonalen van het beeldvierkant om de punten binnen de beeldcirkel te identificeren; gebruik vervolgens orthogonale en transversale lijnen om overeenkomende punten in andere hoeken te reproduceren.

7. Verbind tot slot de twaalf punten, uit de vrije hand of met een Franse curve, om de cirkel te vormen.

Merk op dat a en b al gedefinieerd zijn in het beeldvierkant; d kan worden bepaald met een orthogonale lijn vanuit het hoofdpunt door het snijpunt van de beelddiagonaal; en de projectielijn vanuit e (en het corresponderende punt) kan in het beeldvierkant worden gevonden door een transversale lijn vanuit het snijpunt van de projectielijn vanuit f , door de cirkel naar de tegenoverliggende diagonaal. Bijgevolg zijn slechts vier projectielijnen nodig — vanuit f en g en de corresponderende punten aan de andere kant — zoals weergegeven door de roze lijnen in het diagram. 

Cirkel met goniometrische verhoudingen . Ten slotte werd een nog nauwkeurigere methode voor het projecteren van een cirkel voor het eerst gebruikt door Paolo Uccello (zoals hieronder beschreven ). Deze methode is gebaseerd op een nauwe verdeling van de omtrek van de cirkel in 32 gelijke segmenten, wat de projectietaak echter efficiënter maakt.

De methode van Uccello om de cirkel te projecteren

1. Verdeel het cirkelvlak in 16 gelijkmatig verdeelde "spaken"; deze vind je door de cirkel in kwarten te verdelen met een horizontale en een verticale lijn die elkaar in het middelpunt van de cirkel snijden, en vervolgens de twee bovenste hoeken van 90° driemaal te halveren.

2. Breng de 17 snijpunten over naar de projectielijn en projecteer deze met behulp van orthogonale lijnen naar het hoofdpunt.

3. Markeer het snijpunt van elke orthogonale lijn met een grote diagonaal van het beeldvierkant (magenta punten). Construeer vanuit deze punten 15 transversale lijnen over het beeldvierkant.

4. Bepaal de snijpunten van elke transversaal met de overeenkomende orthogonalen aan beide zijden van het vierkant, en de twee snijpunten van de centrale orthogonaal met de voor- en achterkant van het vierkant. Verbind deze 32 punten om de cirkel te vormen.

De elegantie van de oorspronkelijke planbisectie schuilt erin dat elk projectiepunt zowel een horizontale als een verticale locatie van de omtrekpunten vertegenwoordigt; de kunstenaar bepaalt eenvoudigweg het snijpunt van de orthogonale projectielijnen met een grote diagonaal van het beeldvierkant, en de transversale lijnen dupliceren deze locaties aan tegenoverliggende zijden van de cirkel, waardoor de 32 punten ontstaan ​​die de omtrek definiëren.

De locatie van deze punten langs de breedte van een projectielijn met een lengte-eenheid van 1,0 wordt bepaald aan de hand van de cosinus van de hoek van elke "spaak" ten opzichte van de kijkrichting. De volgorde is ter referentie in onderstaande tabel weergegeven.

Om deze reeks te schalen, vermenigvuldigt u eenvoudigweg met de lengte-eenheid en meet u vanaf één uiteinde van de afmeting. Om bijvoorbeeld een cirkel te projecteren vanaf een projectielijn van 20 cm breed, vermenigvuldigt u met 20: de hoek van -45° (spaak nr. 5) bevindt zich dan op 2,9 cm van het uiteinde van de afmeting. 

Ellipsconstructie . Een belangrijke constante bij perspectiefconstructie is dat:

Een cirkel in de fysieke ruimte verschijnt altijd als een ellips op het beeldvlak, behalve wanneer deze van de zijkant wordt bekeken.

Dit betekent dat we het hele gedoe van het verdelen van een plattegrond en het projecteren ervan in perspectief kunnen overslaan: we kunnen de ellips gewoon direct op de afbeelding construeren!

Elke ellips kan worden beschreven aan de hand van zijn hoogte en breedte, respectievelijk de grote as (de breedste afmeting) en de kleine as (loodrecht op de grote as). Dit leidt tot twee eenvoudige methoden voor het construeren van een ellips en ook tot een berekening om de verkorting van een cirkel te schatten.

Het diagram (rechts) laat zien hoe een ellips kan worden geconstrueerd vanuit vaste hoogte- en breedteafmetingen. Bij de eerste methode ( A ) definiëren de hoogte en breedte een rechthoek, die vervolgens door twee lijnen in gelijke kwadranten wordt verdeeld. Vervolgens worden een binnenste horizontale lijnsegment en een buitenste verticale lijnsegment in evenredig gelijke delen verdeeld, waardoor evenredig verdeelde punten ontstaan. (De punten hoeven niet gelijkmatig verdeeld te zijn, alleen evenredig in hun verhouding op de twee lijnen.) Lijnen worden getrokken vanuit de twee middelpunten, a en b , door de respectievelijke punten, zoals weergegeven. Het snijpunt van de overeenkomende lijnen definieert een punt op de ellips in één kwadrant. De referentiepunten worden verbonden door een vrije handcurve of segmenten van een Franse curve, die vervolgens worden overgetrokken of gekopieerd naar de andere drie kwadranten.

De alternatieve en efficiëntere trammelmethode ( B ) is om de ellipsrechthoek te definiëren en vervolgens de lengte van de grote en kleine as, die aan één uiteinde zijn uitgelijnd, over te brengen op een strook karton of dik papier (diagram rechts). Omdat de grote en kleine as niet even lang zijn, is er een interval tussen hun eindpunten aan het andere uiteinde (magenta lijn). Deze eindpunten worden uitgelijnd met de kleine en grote as van de ellipsrechthoek, en de omtrek van de ellips wordt afgetekend vanaf de uitgelijnde eindpunten aan het andere uiteinde van het karton. Deze methode is snel, hoewel de nauwkeurigheid aanzienlijk afneemt naarmate de grote en kleine as gelijk worden (de ellips een cirkelvorm benadert).

De derde methode ( C ) maakt gebruik van twee concentrische cirkels, gecentreerd in punt a ; de twee cirkels worden in kwarten verdeeld door loodrechte lijnen die de grote en kleine as van de ellips definiëren. Een willekeurig aantal lijnen wordt radiaal door beide cirkels getrokken vanuit punt a , waardoor paren van punten ontstaan ​​op het snijpunt van de lijn met de binnenste en buitenste cirkel. Vervolgens worden lijnen vanuit deze punten verlengd, parallel aan de grote of kleine as van de ellips; hun snijpunten definiëren punten op de ellips in één kwadrant. Een voordeel van deze methode is dat, door de "spaken" en de horizontale en verticale hulplijnen volledig over de grotere cirkel door te trekken, de gehele omtrek kan worden bepaald.

Er is echter een probleem. De bovenstaande diagrammen voor de cirkelconstructie laten zien dat het middelpunt van de ellips niet samenvalt met het middelpunt van het vierkant (het snijpunt van de diagonalen van de afbeelding), omdat de terugtrekking ervoor zorgt dat de achterste helft van het vierkant iets kleiner lijkt dan de voorste helft. Daardoor bevindt het zwarte kruis dat het middelpunt van de ellips aangeeft zich niet op de diagonaal, maar iets eronder (ervoor).

Dit is dezelfde moeilijkheid die de visuele discrepantie veroorzaakt tussen de zichtbare omtrek van een bol (gelijk aan de beeldbreedte van de lange as van de ellips) en de visuele hoek van de diameter (gelijk aan de beeldbreedte van het perspectiefvierkant door het middelpunt). Dit probleem wordt behandeld in het hoofdstuk over het projecteren van een bol . Helaas is er geen eenvoudige manier om de breedte van de ellips te schalen, behalve door een schaaltekening in bovenaanzicht te maken, aangezien de lange as niet samenvalt met de middellijn van het vierkant en de punten waar de ellips het vierkant raakt, zich doorgaans niet op de lange as van de ellips bevinden. Maar voor perspectiefcirkels binnen een gezichtsveld van 20° is de discrepantie zo klein dat deze kan worden genegeerd.

Dit is een belangrijke reden waarom architecten traditioneel ellips-sjablonen gebruikten en nu vertrouwen op computertekenprogramma's. De sjablonen bevatten een zeer groot aantal ellips-uitsparingen, elk iets groter dan de vorige, allemaal geschaald naar een standaard kijkhoek op het vlakke oppervlak dat de cirkel bevat. De kunstenaar kiest eenvoudigweg de sjabloonhoek die het beste overeenkomt met de verhoudingen van de grote en kleine as van de gewenste ellips, en kiest vervolgens de uitsparing die het dichtst bij de juiste afmetingen van de afbeelding ligt. 

De methode voor het schatten van de verkorting van een cirkel (de ellips-sjabloonhoek) is afgeleid van de trigonometrische raaklijn binnen de cirkel van de kijkrichting:

Gegeven een perspectiefvierkant dat zich nabij de middellijn bevindt, teken je een verticale lijn A vanuit een voorste hoek en een horizontale lijn B vanuit de tegenoverliggende achterste hoek; deze lijnen snijden elkaar en vormen een rechthoekige driehoek. Meet met een liniaal de lengtes van A en B en bereken de arctangens van hun verhouding. Dit is de kijkhoek op het vlakke oppervlak van het vierkant in punt x . Deze hoek wordt gebruikt om het meest geschikte ellips-sjabloon te bepalen.

In de illustratie (geteld in pixels) is A = 101 en B = 187, dus de hoek bij x is ongeveer de arctangens van 101/187, oftewel 28,4°. De formules die worden genoemd in het gedeelte over afstands- en grootteberekeningen stellen u in staat om deze hoek te gebruiken om de straal van de cirkel die het vierkant omsluit af te leiden, en de objectafstand ( X ) van het middelpunt van het vierkant tot het gezichtspunt. Voor ellipsen die onder een hoek staan ​​als gevolg van perspectiefvervorming (zie hieronder), moet de ellips worden omsloten door een rechthoek die onder dezelfde hoek is gekanteld; de raaklijn wordt gevonden uit de verhouding tussen hoogte en breedte.

Architecten houden zich hier niet mee bezig: ze proberen gewoon verschillende sjablonen uit totdat ze op het oog de beste overeenkomst in hoek en formaat vinden.

Photoshop-opmerking: Omdat een cirkel een ellips is waarvan de grote en kleine as gelijk zijn, is elke ellips niets meer dan een cirkelafbeelding die in één richting is samengedrukt. Met het selectiegereedschap voor ellipsen (Ellipse Marquee Tool) kunt u de omtrek van de ellips bij benadering definiëren. Nadat u deze hebt ingekleurd, kunt u deze met het gereedschap Vrije transformatie (Free Transform ) nauwkeurig aanpassen door horizontale en/of verticale compressie toe te passen . 

Perspectiefvervormingen (Herhaling) . Het is niet verwonderlijk dat, als perspectiefvervormingen in feite accurate perspectiefbeelden zijn en de methoden voor het construeren van cirkels accurate beeldcirkels opleveren, de geconstrueerde cirkels perspectiefvervormingen vertonen. Daarom moeten we het probleem van vervormingen en hoe we ermee om moeten gaan, opnieuw behandelen.

Het onderstaande voorbeeld is een extreem geval, maar als je het vergelijkt met het uiterlijk van bolvormige objecten die op vergelijkbare wijze uit de kijkrichting zijn verschoven, zul je zien dat het niet slechter is dan verwacht.

Perspectiefvervorming in een 1PP-geconstrueerde cirkel

Dit is niet alleen een gevolg van het 1PP-perspectief: als we een 2PP-geometrie gebruiken, verbetert de vorm van het vierkant dat de cirkel omsluit aanzienlijk, maar de cirkel blijft sterk gekanteld. (De vermindering van de langwerpigheid en de grootte is te danken aan het feit dat het beeldvierkant dichter bij het hoofdbeeldpunt dvp en de horizonlijn ligt.) 

Perspectiefvervorming in een 2PP-geconstrueerde cirkel

Sommige perspectiefhandleidingen pleiten voor de radicale oplossing om een ​​beeldcirkel in alle situaties als een ellips te tekenen met de lange as parallel aan de horizonlijn. Robert W. Gill beweert in een verder verstandige perspectiefhandleiding dat de normale perspectiefvervormingen van cirkels "in strijd zijn met de wetten van het perspectief" — wat ronduit onjuist is . Het probleem is dat perspectiefvervormingen soms een esthetisch aantrekkelijk beeld in de weg staan.

"Aangenaam" is een praktische kwestie in plaats van een geometrische, dus de praktische vraag is (bijvoorbeeld) hoe een ellips, met de lange as parallel aan de horizonlijn, in het geometrisch correcte 2PP-beeldvierkant hierboven past. Dit is alleen mogelijk als de ellips het vierkant niet aan één of twee zijden raakt, terwijl de ellips tegelijkertijd sterk afgeplat is. Gill omzeilt deze moeilijkheid door de kolommen in zijn illustraties plat op het grondvlak te plaatsen: maar de meeste architectonische kolommen rusten op een vierkante basis of plint, of zijn omgeven door vierkante tegelvloeren, dus de verhoudingen en vorm van de cilindrische kolom en de vierkante basis moeten overeenkomen. Om een ​​acceptabel afgeronde ellipsvorm te creëren die de vier zijden van een beeldvierkante basis raakt, moet de perspectivische vorm van de vierkante basis ook worden "aangepast" door de visuele breedte ervan te verkleinen. Maar nu zijn de kolom en de basis niet meer in verhouding tot de architectonische elementen eromheen of erachter, dus moeten ook deze worden aangepast...

In feite zijn al deze aanpassingen stapsgewijze veranderingen in het verder uit elkaar plaatsen van de diagonale verdwijnpunten, en daarmee de 2PP-verdwijnpunten. De juiste oplossing voor dit probleem is dan ook de klassieke remedie voor perspectiefvervormingen: het verkleinen van de beeldcirkel of (ofwel) het vergroten van de afstand tussen het hoofdbeeldpunt en de diagonale verdwijnpunten, of (ofwel) het vergroten van de objectafstand in de perspectivische ruimte.

Als je een ellipssjabloon gebruikt, moet de lange as van de ellips worden uitgelijnd met een lijn naar het tegenoverliggende diagonaal verdwijnpunt (in 1PP) of onder een iets minder schuine hoek dan een lijn naar het tegenoverliggende verdwijnpunt (in 2PP). Ik heb gemerkt dat een boog getrokken vanuit het tegenoverliggende verdwijnpunt, vanuit het middelpunt van de ellips naar de horizonlijn, een redelijke indicatie geeft van de richting waarin de korte as moet worden georiënteerd. 

Projectie van complexe vlakke figuren . Een breed scala aan complexere vlakke figuren kan worden weergegeven met behulp van vierkante of rechthoekige projectie, waarbij de methode van afstandspuntprojectie de basis vormt.

De afstandsmethode waarbij bogen worden getekend om de diagonale projecties voor elk punt in de figuur te bepalen, wordt echter al snel onoverzichtelijk of vereist een groot werkoppervlak. Een compactere oplossing is om de diagonaal binnen het projectievierkant te gebruiken als diepteprojectiemechanisme en alles vanuit het bovenaanzicht te projecteren met alleen orthogonale lijnen naar het hoofdpunt (of, voor 2PP- of 3PP-tekeningen, de twee juiste meetpunten).

Het projecteren van een vijfhoekig plan in perspectiefruimte.

De methode van diagonale diepteprojectie of rabattement is elegant en eenvoudig: teken een vierkant rond de vorm die u wilt projecteren; trek een diagonaal over deze grens; bepaal de diagonale tegenhanger voor alle sleutelpunten; breng elk punt en zijn diagonale tegenhanger naar voren op de maatlat; projecteer de punten vanaf de maatlat in een vierkant in de perspectiefruimte met een diagonaal die naar het diagonale verdwijnpunt ( dvp ) wordt getrokken; bepaal de sleutelpunten in perspectief door middel van constructie.

In het bovenstaande voorbeeld willen we het grondplan van een onregelmatige vijfhoek in perspectief projecteren. We schalen en roteren het grondplan eerst, zoals hieronder beschreven , naar de juiste oriëntatie en afmetingen. Vervolgens omsluiten we het met een vierkant en tekenen we een diagonaal door het vierkant. (Merk op dat we de vorm niet exact in het midden van het vierkant hoeven te plaatsen, en dat de diagonaal, en niet het omsluitende vierkant, juist het essentiële onderdeel van de methode is. Het is echter handig om, indien mogelijk, de benodigde punten op de zijden van het vierkant te plaatsen om een ​​of meer van de projecterende orthogonalen te elimineren.)

Voor elk sleutelpunt dat nodig is om de vorm te construeren, trekken we eerst een horizontale lijn naar de diagonaal, en vervolgens twee verticale lijnen, van (1) het oorspronkelijke punt en (2) het snijpunt ervan met de diagonaal, naar de projectielijn . Beginnend bij punt a , trekken we dus een horizontale lijn naar de diagonaal bij x , en vervolgens verticale lijnen van a en x naar de projectielijn.

Vanuit de projectielijn projecteren we alle punten terug naar het hoofdpunt ( pp ). We projecteren ook de breedte van het vierkant op pp . Vervolgens construeren we, met behulp van het diagonaalverdwijnpunt, het beeldvierkant en, binnen het vierkant, de grote diagonaal ervan.

Ten slotte construeren we voor elk snijpunt met de plandiagonaal een transversaal vanuit het snijpunt met de beelddiagonaal. Zo snijdt de orthogonaal van punt x op de plandiagonaal de beelddiagonaal in punt x' , wat ons de terugsprong geeft. Een transversaal vanuit x' snijdt de orthogonaal vanuit a in de perspectivische positie van punt a' . Hetzelfde wordt herhaald voor elk sleutelpunt, met dien verstande dat orthogonalen vanuit punten op de voor- of achterkant van het vierkant (zoals b ) geen transversaal vereisen, en punten op de zijkanten van het vierkant (zoals c ) geen aparte orthogonaal vereisen.

Mits de verdwijnpunten nauwkeurig zijn geroteerd ten opzichte van de 90°-cirkel van het gezichtsveld (het hoofdbeeldpunt en de verdwijnpunten ), werken deze procedures exact hetzelfde in 2PP, en zijn de 2PP-verdwijnpunten helemaal niet nodig om de figuur in perspectief te projecteren. Sterker nog, een willekeurig aantal vormen kan in dezelfde perspectiefruimte worden geprojecteerd met dezelfde diagonale diepteprojectiemethode, en hun verdwijnlijnen ten opzichte van elkaar zullen exact in harmonie zijn.

Ten slotte, en het meest nuttig, zodra een vlakke figuur in perspectief is geprojecteerd, geeft een lijn die vanuit een willekeurige zijde naar de verdwijnlijn van het vlak waarin de figuur zich bevindt wordt getrokken (bijvoorbeeld de horizonlijn voor figuren in het grondvlak) het verdwijnpunt aan voor die zijde en alle fysieke lijnen die daaraan evenwijdig zijn (zie diagram hierboven).

het projecteren van een stratenkaart in perspectiefruimte

Historisch district North Tribeca, volgens een kaart van de New York Historical Society.

In de onregelmatige stratenpatronen die kenmerkend zijn voor veel premoderne stadsplattegronden, kan bijvoorbeeld een gedetailleerde stratenkaart van het gebied op de plattegrond worden geprojecteerd. Deze plattegrond kan vervolgens worden gebruikt om de 2PP-verdwijnpunten voor de horizontale lijnen van de verschillende gebouwen te bepalen (roze lijnen, hierboven).

Als alternatief kan een metrisch raster op het beeldvlak worden geprojecteerd met de juiste tussenruimte en perspectivische diepte (blauwe lijnen hierboven), en de kaart vierkant voor vierkant in het raster worden gekopieerd, waarbij diagonale diepteprojectie wordt gebruikt om de contouren of locaties van lastige problemen, zoals de verkeerslus rechts op de voorgrond, in kaart te brengen. 

perspectief van complexe vaste vormen

De strategie voor het projecteren van complexe lichamen is in wezen de driedimensionale uitbreiding van de strategie voor het projecteren van tweedimensionale figuren. De complexe vorm wordt ingesloten in of gereduceerd tot kubussen of rechthoeken, en/of de roosters of diagonalen die ze definiëren, en het object wordt gereconstrueerd aan de hand van de gedefinieerde referentiepunten. 

drie methoden voor het construeren van een ellips met vaste hoogte en breedte

Ik denk dat de meeste kunstenaars zich nog wel hun verbazing herinneren toen ze voor het eerst de 'draadmodel'-perspectieftekening van een kelk van Paolo Uccello (rechts) zagen. In dit geval werd de complexe constructie bereikt door de nauwgezette opeenstapeling van eenvoudige perspectiefberekeningen, en als eerbetoon vat ik ze hier samen:

1. Het plan voor de vierkante basis van de beker werd in perspectief geconstrueerd. Uit de verhoudingen van de ellipsen aan de boven- en onderkant van de kelk concludeer ik dat Uccello een kijkafstand gebruikte van ongeveer 8 keer de hoogte van de beker (de kelk bevindt zich dus binnen een gezichtsveld van 7,2°). Als de tekening op ware grootte is (29 cm hoog), zou de kijkafstand ongeveer 2,3 meter zijn en de basis van de beker ongeveer 58 cm onder ooghoogte.

2. Afzonderlijk werd het vlak van een cirkel in tweeën gedeeld, vervolgens in vieren verdeeld, en daarna werd elk segment nog driemaal in tweeën gedeeld, wat resulteerde in 32 gelijke delen van een cirkel.

3. De snijpunten werden door verticale lijnen naar de projectielijn getrokken en vervolgens door orthogonale lijnen geprojecteerd op het grondvlak van een vierkant in de perspectivische ruimte. Merk op dat de bisectiemethode snijpunten heeft opgeleverd die zowel horizontaal als verticaal spiegelsymmetrisch zijn, dus alles wat nodig is om het vierkant te reconstrueren is het snijpunt van elke orthogonale lijn met de diagonalen van het vierkant (zie diagram hierboven ).

4. Deze vierkante projectie werd meer dan zestig keer herhaald, telkens op een iets andere schaal en verticale positie, om de belangrijkste omtrekken van de beker te vormen. De verticale afstand tussen de vierkanten werd bepaald met behulp van een aanzichttekening van de beker, of equivalent door fysieke meting; en de horizontale afstand door meting.

5. De referentiepunten werden horizontaal met elkaar verbonden om de omtrekranden te definiëren, en verticaal met de overeenkomende punten in de cirkels erboven en eronder om het oppervlak van de beker te definiëren.

Kleine afwijkingen in uitlijning en lijndikte suggereren dat de uiteindelijke tekening van de beker is samengesteld uit twee of drie componenttekeningen; dit impliceert dat de tekening die we hebben, door middel van speldenprikjes, is overgenomen van andere tekeningen, of een verkleinde versie is van tekeningen die voor de nauwkeurigheid in een groter formaat zijn gemaakt. Het hele project moet weken in beslag hebben genomen.

In die context is het interessant om de opmerkingen van Giorgio Vasari over Uccello's studies naar het consumptieperspectief te horen:

"Paolo Uccello zou het meest gracieuze en fantasierijke genie zijn geweest dat zich ooit aan de schilderkunst heeft gewijd, van Giotto's tijd tot de onze, als hij zich net zoveel had toegelegd op figuren en dieren als hij zich met zoveel tijd en moeite had beziggehouden met de details van het perspectief. Want hoewel deze details ingenieus en prachtig zijn, verspilt een mens, als hij ze te veel nastreeft, niets anders dan zijn tijd, put hij zijn krachten uit, vult hij zijn geest met moeilijkheden en verandert hij vaak de vruchtbaarheid en bereidheid ervan in steriliteit en beperking. Zijn stijl wordt, door meer aandacht te besteden aan deze details dan aan figuren, droog en hoekig, wat allemaal voortkomt uit een verlangen om dingen te minutieus te onderzoeken. Om nog maar te zwijgen van het feit dat hij vaak eenzaam, excentriek, melancholisch en arm wordt, zoals Paolo Uccello. Deze man, van nature begiftigd met een scherpzinnige en subtiele geest, kende geen ander genoegen dan het onderzoeken van bepaalde moeilijke, ja onmogelijke perspectiefproblemen, die, hoewel fantasierijk en prachtig, hem zozeer belemmerden bij het schilderen van figuren, dat Hoe ouder hij werd, hoe slechter hij het deed. ... Om deze onderzoeken te kunnen uitvoeren, hield hij zich afzijdig en leefde hij bijna als een kluizenaar. Hij had weinig contact met anderen en bleef weken en maanden in zijn huis zonder zich te laten zien." [ Levens van de schilders, beeldhouwers en architecten, 1550; "Paolo Uccello, schilder uit Florence"]

Een waarschuwing die al eeuwenlang geldt voor de vele moderne perspectief-hobbyisten, waaronder digitale rendering-engineers, die dagen of weken besteden aan één enkele textuurkaart of belichtingsmodel. (Die eenzame melancholici die maandenlang bezig zijn om alles naar een obscure website te porten, tja... die zijn van deze waarschuwing vrijgesteld.) 

Een bol projecteren . De bol en verwante geometrische vormen, de kegel en de cilinder, vormen een subtiele moeilijkheid. Enerzijds zijn ze allemaal cirkelvormig in doorsnede en kunnen ze daarom in de meeste gevallen worden weergegeven door een elliptische omtrek langs de voorrand of omtrek. Anderzijds zijn het vaste lichamen in plaats van vlakke figuren, wat specifieke problemen met beeldverhouding en verkorting met zich meebrengt. 

Schaalvergroting van een bol . Het schaalprobleem is dat een bol die zich relatief dicht bij het gezichtspunt bevindt, een visuele hoek heeft die groter is dan de visuele hoek van zijn fysieke diameter. Dat wil zeggen dat het gebruik van een meetlat of eenheidsafstand om de diameter van een bol in perspectief te projecteren, de werkelijke schijnbare grootte onderschat . Het diagram laat zien waarom: de kijkhoek naar de rand van de bol bevindt zich vóór de diameter, op de zichtbare omtrek ervan .

discrepantie tussen de zichtbare omtrek en de hoekdiameter van een bol

bol weergegeven op een objectafstand van 1,4 keer de diameter

Het is vreemd dat dit probleem uitgebreid wordt behandeld in sommige perspectiefhandboeken zonder de vraag te stellen: doet dit verschil ertoe? Voor een bol op een objectafstand (afstand van het grondvlak) van het middelpunt tot het gezichtspunt die 2,5 keer de diameter is, is de hoekdiameter van de bol 22,6°, maar de zichtbare omtrek 23,07°. Dit is een verschil van ongeveer 0,5°, oftewel de zichtbare breedte van de volle maan (1 centimeter op 1,15 meter). Dat doet er waarschijnlijk wel toe.

Voor een bol op een objectafstand van 5 keer de diameter is de zichtbare afwijking ongeveer 0,05°, oftewel 1 centimeter op 10 meter afstand; voor een bol op 10 keer de diameter, de objectafstand die Leonardo aanbeveelt om perspectiefvervormingen te verminderen, is de afwijking 0,007°, wat overeenkomt met 1 centimeter op 80 meter afstand en onder de optische resolutie van het menselijk oog of een vergelijkbare camera ligt. Daarom denk ik dat het probleem kan worden genegeerd voor een bol, cilinder of kegel op een objectafstand van meer dan 5 keer de diameter: de visuele afwijking is dan minder dan 0,5% (bijvoorbeeld 1/2 mm op 10 cm), wat kleiner is dan de willekeurige variaties die ontstaan ​​door onnauwkeurigheden in de tekening. 

Voor objecten die dichterbij zijn, kan het schaalprobleem worden opgelost door (1) de maatbalk voor de diameter van de bol te construeren op basis van een plattegrondtekening (zoals de tekening hierboven) die de verhoudingen tussen de boldiameter en de afstand tot het object weergeeft; of (2) een maatbalk die is gebaseerd op de beeldgrootte van de bol te herschalen om de zichtbare omtrek weer te geven, met behulp van de verhoudingen in de onderstaande tabel.

Beeldverkorting van een bol . Het tweede probleem is de verkorting van de cirkel/ellips die gebruikt wordt om de bol weer te geven. Omdat de bol in de diepte zichtbaar is, ondergaat de schijnbare diameter een rotatieverkorting , waardoor de cirkelvormige omtrek elliptisch lijkt wanneer de bol zich aan één kant van de kijkrichting bevindt. De as van maximale elongatie is altijd ongeveer radiaal ten opzichte van het hoofdpunt, waardoor de bol verticaal, horizontaal of diagonaal kan worden verlengd, afhankelijk van de positie ten opzichte van de kijkrichting.

Toch bestaat er vrijwel universele overeenstemming over het feit dat bollen in een perspectieftekening als cirkels moeten worden weergegeven ; Robert W. Gill geeft de meest gedetailleerde verdediging van deze oplossing, maar het is gangbare praktijk. Sterker nog, ik heb nog nooit een perspectiefleerboek gevonden dat de correcte manier uitlegt om de ware centrale projectie van een bol te tekenen.

Door uit te gaan van de basisregels van perspectief kunnen we een correcte procedure ontwikkelen. We beginnen met het feit dat een bol altijd kan worden omsloten door een kubus waarvan de breedte gelijk is aan de diameter van de bol, zodat de bol het middelpunt van elk vlak van de kubus raakt. Deze perspectiefkubus kan vanuit elke hoek of oriëntatie in de fysieke ruimte worden bekeken; de zijden van de corresponderende beeldkubus zullen zich terugtrekken naar hun 1PP-, 2PP- of 3PP-verdwijnpunten, afhankelijk van de kijkhoek ten opzichte van de kubus .

Als demonstratievoorbeeld gebruiken we de 2PP-cirkel als plattegrond van de bol die we willen construeren. Eerst moeten we de perspectiefkubus construeren, omdat de diagonalen in het inwendige van deze kubus het middelpunt van de te construeren bol aangeven, en de diagonalen op het grondvlak het punt aangeven waar de bol het grondvlak raakt, oftewel het perspectiefbeeld van de objectafstand. De meetlat voor het voorvlak van deze kubus is tevens de diameter van de te construeren bol.

perspectieftekening van een bol

De constructie van de perspectiefkubus die gebruikt wordt om het middelpunt van de bol en de afstand tot het grondvlak te bepalen; ook is een schatting van het cirkelvormige profiel van de bol die erin zit weergegeven.

De bol in de perspectiefkubus lijkt in de fysieke ruimte een onveranderlijk cirkelvormig profiel te hebben, ongeacht de kijkhoek op de perspectiefkubus. Om deze onveranderlijke verschijning te rechtvaardigen, stel je een projectievlak voor dat (1) door het middelpunt van de bol loopt en (2) altijd loodrecht staat op de zichtlijn van het gezichtspunt naar het middelpunt van de bol. Op dit vlak zal de omtrek van de bol altijd als een perfecte cirkel verschijnen en altijd omsloten worden door een projectievierkant waarvan de onderrand (willekeurig) parallel aan het grondvlak kan worden gemaakt.

perspectieftekening van een kelk

Piero Uccello (ca. 1450)

Dit projectievierkant is echter geen dwarsdoorsnede van de perspectiefkubus, omdat die een rechthoek, trapezium of onregelmatige zeshoek kan zijn, afhankelijk van de oriëntatie van de perspectiefkubus ten opzichte van het gezichtspunt. In plaats daarvan is het projectievierkant de centrale dwarsdoorsnede van een projectiekubus met dezelfde afmetingen als de perspectiefkubus, maar zo georiënteerd dat het voorvlak loodrecht staat op de zichtlijn naar het middelpunt van de bol en de horizontale randen parallel lopen aan het grondvlak (diagram rechts). Deze projectiekubus en zijn dwarsdoorsnede, het projectievierkant, zullen andere verdwijnpunten hebben dan de perspectiefkubus en zijn plattegrond.

een realistische perspectieftekening van een bol

het bepalen van de verdwijnpunten voor de projectiekubus

De verdwijnpunten van de projectiekubus (en het projectievierkant) worden gevonden met behulp van de 3PP-methoden voor exacte rotatie van verdwijnpunten, en door afleiding uit de gegeven oriëntatie van de projectiekubus (zie diagram hierboven):

• Het verdwijnpunt voor de horizontale boven- en onderranden wordt gevonden door een visuele straal vanuit het gezichtspunt, gevouwen naar een verticaal diagonaal verdwijnpunt, te roteren naar de horizontale (linker of rechter) verplaatsing van het middelpunt van de bol ten opzichte van het hoofdpunt; dit is het snijpunt van een verticale lijn (perspectiefregel 8 ) van het middelpunt van de bol naar de horizonlijn. Dan ligt het gewenste verdwijnpunt ( vp ₁ ) op de horizonlijn, loodrecht op deze visuele straal.

• De terugwijkende zijranden van de kubus zijn evenwijdig aan de zichtlijn naar het middelpunt van de kubus (omdat het voorvlak van de kubus loodrecht op de zichtlijn staat), dus hun verdwijnpunt is het middelpunt van de bol (perspectiefregel 5 ).

• De verticale zijden van de projectiekubus zijn evenwijdig aan een vlak dat de zichtlijn bevat en loodrecht staat op het grondvlak. Daarom ligt hun verdwijnpunt op de verdwijnlijn van dit vlak, namelijk de verticale lijn vanuit het middelpunt van de bol. Het verdwijnpunt wordt bepaald zoals hier beschreven , en een visuele straal wordt gedraaid naar de verticale (omhoog of omlaag) verplaatsing van het middelpunt van de bol ten opzichte van de horizonlijn; het verdwijnpunt ( vp ₂ ) ligt op de middellijn van de bol, loodrecht op deze visuele straal.

een realistische perspectieftekening van een bol

de meetlat schalen voor de diameter van de bol en projecteren op meetpunten

De afmetingen van de projectiekubus worden bepaald aan de hand van de meetlat die gebruikt wordt om de zijden van de perspectiefkubus te definiëren (zie diagram hierboven):

• Orthogonalen worden gebruikt om de oorspronkelijke meetbalk (magenta lijn) te projecteren op de beelddiepte van het middelpunt van de bol (groene lijn).

• De meetbalk is gecentreerd op het middelpunt van de bol (blauwe lijn).

• De lengte van de meetlat wordt parallel gedraaid met het voorvlak van de projectiekubus door middel van verdwijnlijnen naar het meetpunt voor het horizontale verdwijnpunt. De meetlat wordt geprojecteerd op een lijn vanuit dit verdwijnpunt door het middelpunt van de bol. Merk op dat de projectie in perspectiefruimte zowel voorwaarts als achterwaarts is , afhankelijk van de horizontale kanteling van de projectiekubus ten opzichte van het beeldvlak.

• De meetlat wordt 90° gedraaid en de verticale afmetingen ervan worden geprojecteerd op het meetpunt voor het verticale verdwijnpunt, om de verticale kanteling van de projectiekubus ten opzichte van het beeldvlak te corrigeren.

• De meetlat heeft vier punten gedefinieerd: dit zijn de vier zijden van het projectievierkant die raken aan de omtrek van de bol. Deze afmetingen kunnen, indien nodig, worden aangepast om rekening te houden met de grotere zichtbare omtrek van de bol. De meetlat (de diameter van de bol) in het voorbeeld is 1,2 meter lang en (gebaseerd op de beeldhoogte van het punt waar de bol op het grondvlak rust) bevindt het middelpunt van de bol zich op 3 meter van het gezichtspunt. Met behulp van de bovenstaande tabel kunnen de afmetingen dus met 3% worden verhoogd.

• Verdwijnlijnen vanuit de twee verdwijnpunten, door de vier zijpunten, worden gebruikt om dit vierkant te voltooien. Dit is het perspectiefbeeld van het geprojecteerde vierkant.

• Verdwijnlijnen worden gebruikt om de "planloze" vierkantsconstructiemethode uit te voeren, of een andere, nauwkeurigere methode indien nodig.

• De geprojecteerde punten worden met elkaar verbonden in een ellips om de zichtbare omtrek (of visuele diameter) van de perspectivische bol te vormen. Het diagram (hieronder) toont de voltooide tekening.

een realistische perspectieftekening van een bol

het construeren van het bolprofiel vanuit de "planloze" vierkante projectiemethode

Ik heb deze zijsprong om vier redenen gemaakt. Ten eerste heb ik aan de hand van een voorbeeld aangetoond dat het correcte perspectiefbeeld van een bol geen ellips is.

De mate van elliptische vervorming, zelfs voor een zeer grote, dichtbij geplaatste bol ver aan de zijkant van de kijkrichting, lijkt echter veel kleiner dan bij een cirkel op de grondvlak op dezelfde locatie. Dit (en de complexiteit van het op de "juiste" manier tekenen van een bol) rechtvaardigt de praktijk om een ​​cirkelvormige omtrek te gebruiken om een ​​bol weer te geven, zoals sinds de Renaissance gebruikelijk en een volledig acceptabele perspectiefoplossing is.

Ten derde geeft mijn perspectiefoplossing een verklaring waarom cirkels acceptabele afbeeldingen van bollen kunnen zijn in perspectiefbeelden. Bollen definiëren in feite geen verdwijnpunten in de visuele ervaring: ze weerspiegelen alleen de centrale terugtrekking van de kijker in hun beeldgrootte. We introduceren kunstmatig verdwijnpunten door een projectiekubus rond de bol te construeren, en deze kubus bevindt zich altijd in 3PP, ongeacht de verdwijnpunten van de perspectiefkubus.

Veel eigenschappen van de bol — het ontbreken van lineaire elementen op het oppervlak, de onveranderlijk gelijke afmetingen van breedte en diepte vanuit elk gezichtspunt, de doorgaans kleine omvang van fysieke bollen in het dagelijks leven en de optische gelijkheid van de gepaarde beelden bij binoculair zicht — verschillen aanzienlijk van de lineaire randen, de grote fysieke omvang en de binoculaire dispariteit die kenmerkend zijn voor veel voorbeelden van "lineair" perspectief. Daardoor verschilt ons gebruikelijke visuele concept van bollen van de diepte en diepteconvergentie die we associëren met spoorlijnen, hekken, straten, gebouwen en andere typische perspectiefthema's. Het punt is dat perspectief inhoudt dat we tekenen wat we weten (of wat we denken te zien) in plaats van wat een geometrisch correcte projectie op een beeldvlak is: dit probleem ligt aan de basis van alle perspectiefvervormingen .

Tot slot heb ik aangetoond hoe de basisregels van perspectief, in combinatie met de 90°-gezichtscirkel en de expliciete rotatie van verdwijnpunten en meetpunten, kunnen bijdragen aan het oplossen van nieuwe en complexe perspectiefproblemen. 

Een cilinder projecteren . In de meeste perspectiefconstructies zijn cilinders kolommen, en kolommen leveren geen ongebruikelijke verkortingsproblemen op, omdat de cirkelvormige basis van de kolom wordt bepaald door het omringende vierkant en de kolom loodrecht op het grondvlak staat.

bol in een perspectiefkubus
en een projectiekubus

Maar als de kolom omvalt, of dreigt om te vallen — zoals de Toren van Pisa (rechts) — dan moeten we de hoek van de basis ten opzichte van de kijkrichting bepalen, en daaruit de verkorte cirkel construeren, in dit geval om de omtrek van elk niveau van de toren te vinden.

perspectieftekening van de Toren van Pisa

Met afbeeldingen van rotaties voor beeldschaal en verticale hoek, en twee cirkelvormige constructies.

Deze tekening wordt gemaakt door eerst, aan de hand van een foto of een nauwkeurige plattegrond en aanzicht, de benodigde afmetingen vast te stellen. Als de hellingshoek loodrecht op de kijkrichting staat, dan is de hellingshoek 5,5° ten opzichte van de verticaal. Uitgaande van een objectafstand van ongeveer 75 meter, zou de 56 meter hoge toren een verticale kijkhoek van 36° bestrijken. (Andere afmetingen van de toren, zoals de diameter, worden hier niet in aanmerking genomen.)

Om de helling te modelleren, worden de middellijn en de horizonlijn 5,5° rond het hoofdpunt gedraaid, waardoor een nieuwe horizonlijn (magenta) en een nieuwe middellijn ontstaan, die nu de as van de torencilinder vormt.

Vervolgens wordt een hoek van 36° gedraaid vanuit een van de verdwijnpunten op de zijdiagonaal om de verticale dimensie van de torenafbeelding te bepalen. Ik heb dit gedaan vanuit de oorspronkelijke horizonlijn naar de oorspronkelijke middellijn, ervan uitgaande dat de hoogte van de toren loodrecht op de as is gemeten. Als de meting langs de as van de toren zou zijn uitgevoerd, zou de rotatie plaatsvinden vanuit het "gekantelde" verdwijnpunt naar de as van de toren.

Met behulp van een meetlat wordt de verticale positie van elk torenniveau langs de as bepaald; twee voorbeelden worden getoond voor het bovenste platform ( a ) en een middelste niveau ( b ). Als de punten worden geschaald op de afstand van de voorkant van de toren, bevinden ze zich op het voorvlak van het perspectiefvierkant; als ze worden geschaald op de afstand van het midden van de toren, liggen ze op de torenas en in het diagonale midden van het perspectiefvierkant.

In beide gevallen wordt het perspectiefvierkant geconstrueerd vanuit het hoogtepunt, met behulp van diagonalen naar de gekantelde dvp's (blauwe lijnen). Zo definiëren diagonalen vanuit b de voorste halve diagonalen van een perspectiefvierkant. Een meetlat voor de breedte van de toren (loodrecht gekanteld op de torenas en gecentreerd op b ) definieert de voorste hoeken van het perspectiefvierkant ( n en o ); orthogonale lijnen vanuit deze punten naar het hoofdpunt ( dv ) definiëren de zijden van het vierkant. Een tweede diagonaal vanuit het snijpunt van deze orthogonale lijnen met de oorspronkelijke diagonalen naar b definieert de middens van de zijden (bijv. bij r ); diagonalen vanuit deze punten snijden elkaar aan de achterzijde van het vierkant (bij s ). (Alternatief snijden diagonalen vanuit n en o de orthogonale lijnen in de achterste hoeken van het vierkant.) Een lijn door s en evenwijdig aan no definieert een deel van het perspectiefvierkant . Ten slotte wordt de voorste omtrek van een cirkel in dit vierkant geprojecteerd met behulp van een van de hierboven beschreven methoden; Gezien het aantal reeds geconstrueerde diagonalen, is de methode met de cirkel zonder plattegrond wellicht het meest efficiënt. 

Het projecteren van een wenteltrap . Het voorbeeld van de Toren van Pisa behandelt de helling van een cilinder, maar laat de verticale schaalvergroting van de torenniveaus weg. Die wordt gedaan met een meetlat of een aanzicht (zijaanzicht) van de toren. Wenteltrappen, hoewel ze bijna nooit in een tekening voorkomen, zijn beproefde perspectiefclichés en een goed voorbeeld van hoe aanzicht en plattegrond worden gecombineerd om een ​​complex object in drie dimensies te projecteren.

Perspectieftekening van een wenteltrap

Met behulp van de Uccello-methode voor cirkelprojectie en transversalen om de trap in de diepte op een gevel te lokaliseren.

Er valt eigenlijk weinig uit te leggen. De plattegrond is simpelweg de Uccello-indeling voor het projecteren van een cirkel, die de buitenrand van de trap voorstelt. De aanzichttekening wordt geconstrueerd door de locaties van de trappen op elk niveau naar de zijkant te projecteren met transversalen, en deze vervolgens in de diepte te projecteren met orthogonalen naar het hoofdpunt (of, in 2PP, naar het bepalende verdwijnpunt). 

Een kegel projecteren . Tot slot demonstreer ik de procedure met een kegel, waarvan de as equivalent kan zijn aan de as van een cilinder.

de toren van Pisa

Het makkelijke probleem doet zich voor wanneer de kegel met zijn basis op of parallel aan het grondvlak staat (diagram rechts). In de architectuur komt dit bijvoorbeeld voor bij het dak van een ronde toren, silo of minaret. De basis wordt dan bepaald door het vierkant dat evenwijdig aan het grondvlak loopt en de cirkel omsluit; de top ligt op de loodrechte as getrokken vanuit het diagonale middelpunt van het vierkant.

Het meest complexe geval doet zich voor wanneer de as van de kegel een hoek maakt met zowel het grondvlak als de kijkrichting. In het voorbeeld heeft de kegel een basisdiameter van 1 meter en een hoogte van 3 meter, ligt hij op zijn zij in het grondvlak, met de as onder een hoek van 30° ten opzichte van de kijkrichting, op een objectafstand van 4 meter. De voltooide constructie is hieronder weergegeven.

Perspectieftekening van een liggende kegel

met behulp van de methode van rotatie rond het verdwijnpunt, rotatie langs de horizonlijn en meetpunten.

De eerste stap is het vaststellen van het verdwijnpuntkader, aangezien dit nodig is om de beeldgrootte te schalen.

Er zijn twee hoeken in het spel. Als de basis van de kegel exact parallel zou zijn aan de kijkrichting en de as parallel aan het grondvlak, zou de basis van de kegel loodrecht op het grondvlak staan. Als de kegel op zijn zij ligt, zou de basis een visuele helling van 9,5° definiëren (de helft van de binnenhoek in de top van de kegel). Dit zou simpelweg een overeenkomstige helling van de horizonlijn en de middellijn rond het hoofdpunt vereisen (zoals in het torenvoorbeeld hierboven). De basis staat echter onder een hoek van 60° ten opzichte van de kijkrichting, waardoor de hoek van 9,5° door deze hoek wordt verkort.

Dit wordt in twee stappen opgelost: (1) roteer de verdwijnpunten rond het gezichtspunt (een verticaal dvp ) om het 2PP-raamwerk voor de basis te verkrijgen, en vervolgens (2) roteer de vp's rond het hoofdpunt om de helling te verkrijgen die wordt veroorzaakt doordat de kegel op zijn zij ligt. (De stappen kunnen desgewenst in omgekeerde volgorde worden uitgevoerd.)

Als alternatief kan de hoek van 9,5° worden gemarkeerd vanaf de basis tot de bovenkant van een rechthoekig lichaam, en kan de kubus worden geprojecteerd in 2PP-perspectiefruimte met de vereiste rotatie van het verdwijnpunt (zie volgende sectie ).

Vervolgens worden de meetpunten op de gebruikelijke manier gedefinieerd, als bogen die getrokken worden rond de twee verdwijnpunten naar de gedraaide horizonlijn.

Ten derde worden de maatstaven voor de kegelhoogte en de basisbreedte gedefinieerd met behulp van de eerder beschreven procedures voor het schalen van de tekening .

Met behulp van de meetpunten wordt een rechthoekig lichaam met een hoogte van 3 eenheden en een breedte van 1 eenheid in de perspectiefruimte geprojecteerd.

Met behulp van diagonale lijnen wordt het middelpunt van het verste vierkante vlak gevonden, dat wil zeggen de top van de kegel.

Ten slotte wordt de "planloze" methode gebruikt om de elliptische basis van de kegel te construeren binnen de vierkante basis van de rechthoek aan de tegenoverliggende zijde. Als er een ellipssjabloon wordt gebruikt, is de lange as van de ellips meestal loodrecht op de as van de kegel gericht.

Dezelfde methode wordt gebruikt om een ​​cilinder te construeren onder een schuine of scherpe hoek ten opzichte van het beeldvlak, het grondvlak en/of de kijkrichting. Het enige verschil is dat aan beide uiteinden van het rechthoekige lichaam een ​​cirkelvormige of elliptische omtrek wordt geconstrueerd. 

Het projecteren van complexe lichamen onder een samengestelde hoek . Ik gebruik als voorbeelden twee van de platonische lichamen , die tot de eerste perspectiefuitdagingen behoorden die door tekenaars uit de Renaissance werden aangepakt.

We hebben al gewerkt met een van de platonische lichamen – de hexaëder of kubus – en de kubus (of een rechthoekig lichaam) kan worden gebruikt om complexe driedimensionale vormen te projecteren, op dezelfde manier als een vierkant wordt gebruikt om complexe vlakke figuren te projecteren. 

Octaëder en diagonale centrering . De octaëder is een regelmatige veelhoek met acht vlakken en zes hoekpunten. De acht vlakken zijn gelijkzijdige driehoeken die verbonden zijn onder een hoek van 109,5°, wat lastig te meten is door middel van meerdere rotaties rond het verdwijnpunt. In al deze situaties biedt de projectiekubus/rechthoek uitkomst.

perspectieftekening van een octaëder

met behulp van de methode van diagonale centrering, binnen een gezichtsveld van 60°.

Het voorbeeld is eenvoudig. Een kubus wordt geprojecteerd in de 2PP-ruimte, waarbij een meetlat op volle lengte wordt gebruikt voor de hoogte van de kubus en vervolgens wordt geprojecteerd op het juiste meetpunt om de verkorte vlakken van de kubus te definiëren.

Diagonale lijnen worden gebruikt om het perspectivische middelpunt van de beeldvierkanten te definiëren. Deze lijnen geven de hoekpunten van de octaëder aan; de punten worden eenvoudigweg met elkaar verbonden voor alle voorvlakken van de vorm. 

Dodecaëder en gelaagde projectie . De dodecaëder is een regelmatige veelhoek met 20 hoekpunten en 12 vijfhoekige vlakken, die elk een hoek van ongeveer 116,5° maken met de vijf aangrenzende vlakken. Hoewel alle hoekpunten het oppervlak van een bol snijden, hebben ze geen eenvoudige relatie met de geometrie van een kubus. Niettemin kan een projectiekubus worden gebruikt om het perspectiefbeeld te construeren; hoewel de methode voor zeer complexe vormen en tekeningen op bescheiden schaal professionele tekenapparatuur vereist om betrouwbaar te zijn.

De kubus bestaat uit twee delen: een reeks (in dit geval) horizontale lagen door de kubus, die elk een doorsnede van de vorm in bovenaanzicht op specifieke intervallen weergeven, en een verticale maatstreep die de scheiding tussen de lagen definieert. De kubus kan net zo goed worden verdeeld in een reeks doorsneden of aanzichten, die met een horizontale maatstreep worden weergegeven; de beste strategie hangt af van de kenmerken van de hoofdvorm.

Het ontwerp wordt eerst opgebouwd in afzonderlijke lagen, en deze lagen moeten worden gecontroleerd om er zeker van te zijn dat ze alle noodzakelijke belangrijke punten definiëren. Indien mogelijk moet de primaire vorm strak omsloten worden door de projectiekubus, zodat de vlakken of hoeken van de vorm samenvallen met de vlakken en/of hoeken van de kubus; dit vermindert de projectiewerkzaamheden. Wanneer meerdere lagen of ontwerpen worden gebruikt, moet elke laag worden omsloten door dezelfde registratiemarkeringen of kubusomtrek, zodat de lagen tijdens de projectiestappen exact op elkaar aansluiten.

perspectieftekening van een dodecaëder

het construeren van de verticale maatbalk vanuit de verhoging van het dodecaëder

De verticale maatbalk wordt geconstrueerd op basis van een aanzicht van de primaire vorm, dat wordt doorsneden op de niveaus die de belangrijke punten bevatten die nodig zijn om de contouren, hoeken, randen enz. van de vorm te reconstrueren.

Net als bij perspectivische kubussen zijn in dit geval de hoekpunten (vertices) de belangrijkste punten. Deze bepalen alle ribben en daarmee ook de vlakken van de vorm.

De hoekpunten verdelen de kubus in vier lagen, a , b , c , d (zie diagram hierboven), met een toegevoegd interval x om de afstand tussen de basis van het dodecaëder en de basis van de kubus aan te geven.

Merk op dat het dodecaëder symmetrisch of regelmatig georiënteerd is ten opzichte van de zijden van de kubus; dit moet, indien mogelijk, altijd gedaan worden bij elke complexe vorm, zodat de oriëntatie volledig gemanipuleerd kan worden via de verdwijnpunten van de projectiekubus.

perspectieftekening van een dodecaëder

Het construeren van de projectiekubus, met meetpunten en een diagonaal verdwijnpunt in de 60°-cirkel van het gezichtsveld.

Vervolgens wordt de projectiekubus in perspectief geconstrueerd op de gewenste locatie, oriëntatie en schaal voor het dodecaëderobject (zie diagram hierboven). De procedure voor het construeren van een 2PP-beeldkubus wordt hier beschreven .

perspectieftekening van een dodecaëder

het projecteren van de hoekpunten in laag "a"

Nu begint de projectie van de afzonderlijke planlagen (zie diagram hierboven). Voor elke laag worden de volgende stappen gebruikt:

• De verticale meetlat is uitgelijnd met het ankerpunt en de niveaulocatie ( a in het diagram) is gemarkeerd. Meestal is het het beste om te werken van de laag die het dichtst bij het gezichtspunt ligt naar de laag die het verst weg ligt, zodat belangrijke punten die door het voorste deel van de vorm worden bedekt of verborgen, tijdens het werk kunnen worden weggelaten.

• De niveaulijnen (groen) worden vanuit dit punt naar de verdwijnpunten getrokken; deze definiëren de randen, langs de vlakken van de kubus, van de te projecteren laag. De diagonalen van de laag worden getrokken vanuit tegenoverliggende randen van de kubus waar ze de niveaulijnen snijden.

• De projectiebalk is op hetzelfde niveau uitgelijnd als het locatieniveau ( a ).

• Het juiste vlakniveau wordt uitgelijnd met de projectiebalk (in het voorbeeld worden een vierkante omtrek en een centreer-"+" gebruikt voor de registratie), en de te projecteren punten — vijf hoekpunten en drie diagonale dieptepunten — worden met verticale lijnen naar boven getrokken, waar ze de projectiepunten definiëren. De nauwkeurige positionering en uitlijning van het vlakniveau, de vlaklijnen, de projectiebalk en het vlakniveau zijn cruciaal; met name het bovenvlak van het vlakvierkant moet exact parallel lopen met de projectiebalk, en de projectiebalk moet waterpas zijn (voor horizontale lagen).

• De projectiepunten (snijpunten van de verticale lijnen met de projectiebalk) worden op de horizontale lijn (groen) geprojecteerd door lijnen naar het juiste meetpunt (aangezien de projectie plaatsvindt op het kubusvlak waarvan de uitsparing wordt gedefinieerd door vp ₂ , is het juiste meetpunt mp ₂ ). Deze lijnen snijden de horizontale lijn in de beeldpunten voor hun randlocaties.

• De randlocaties van de beeldpunten worden door middel van verdwijningslijnen (blauw voor hoekpunten, roze voor diagonale dieptepunten) naar het juiste verdwijnpunt ( vp _{1 in het voorbeeld) verplaatst.}

• Waar de diagonale diepte-verdwijnlijnen de niveau-diagonaal snijden, worden die snijpunten door verdwijnlijnen teruggebracht naar het tegenoverliggende verdwijnpunt ( vp _{2 ).}

• De corresponderende snijpunten van de verdwijnlijnen worden gebruikt om de beeldhoekpunten (oranje punten) te lokaliseren.

Uit het diagram blijkt dat elke laag van een complexe vorm tientallen verdwijnlijnen kan vereisen. Om gummen en rommel te voorkomen, is het handig om elke planlaag op een groot vel tekenpapier of calqueerpapier te tekenen, zo georiënteerd dat ook het projectiegebied bedekt is. Leg vervolgens het hele vel over het werkoppervlak en plak het strak vast met tape; daarna worden de horizontale lijnen, projectielijnen en verdwijnlijnen erop getekend. Wanneer de belangrijke punten voor die laag zijn gevonden, worden ze met een speld door het papier heen op het tekenpapier eronder gemarkeerd.

De locatie van de punten wordt bevestigd met kleine potloodstreepjes voordat het laagvel wordt verwijderd; vervolgens wordt het vel verwijderd en worden de toevoegingen aan de tekening netjes afgewerkt, als randen verbonden, enz. voordat met de volgende laag wordt begonnen.

perspectieftekening van een dodecaëder

de hoekpunten in laag "b" projecteren

De verticale meetlat wordt gebruikt om de positie van de volgende laag ( b ) te bepalen, waarna de projectielat omhoog wordt bewogen tot deze exact gelijk ligt met de meetlat. Vervolgens wordt de plattegrond eronder uitgelijnd en worden de hierboven beschreven projectiestappen herhaald.

Een significant tekenprobleem ontstaat wanneer de projectielaag in perspectief zo ​​is georiënteerd dat deze bijna van opzij wordt bekeken: in het voorbeeld ligt niveau c bijna op de horizonlijn. In dergelijke situaties wordt de locatie van de punten bepaald door verdwijningslijnen die elkaar onder een zeer kleine hoek snijden, wat potentieel grote onnauwkeurigheden kan veroorzaken.

De oplossing is om een ​​tweede projectielaag te creëren op een aanzienlijke afstand aan beide zijden – in het voorbeeld in de basis van de projectiekubus of zelfs eronder – en de punten horizontaal te lokaliseren met verticale lijnen vanuit hun perspectiefpositie in deze tweede projectielaag. Deze lijnen vervangen de verdwijnlijnen naar een van de twee verdwijnpunten, waardoor de diagonale dieptepunten en hun verdwijnlijnen kunnen worden weggelaten, wat de weergave aanzienlijk overzichtelijker maakt. De verdwijnlijnen naar een van de verdwijnpunten en de verticale lijnen vanuit de tweede projectielaag kruisen elkaar vrijwel loodrecht, waardoor zowel de horizontale als de verticale positie van de punten nauwkeurig en duidelijk gedefinieerd zijn.

Deze techniek vereist dat de beeldpunten twee keer worden geconstrueerd, eerst in de tweede projectielaag en vervolgens nogmaals in de uiteindelijke beeldlaag. Deze herhaalde projectie is echter ook een bron van onnauwkeurigheid.

perspectieftekening van een dodecaëder

De voltooide tekening in een cirkel van 60° zicht.

Nadat alle lagen in de afbeelding zijn geprojecteerd, worden eventuele resterende hulplijnen verwijderd, de punten verbonden en de tekening afgemaakt. De afbeelding toont de projectiekubus op zijn plaats, zodat deze vergeleken kan worden met de octaëdertekening hierboven. 

een kegel met een basis parallel aan het grondvlak

Het projecteren van de menselijke figuur . Zonder twijfel is de menselijke figuur het moeilijkste perspectiefprobleem waar kunstenaars zich ooit mee hebben beziggehouden. Het was ook een van de eerste onderwerpen die werden aangepakt. Een complexe maar precieze methode wordt geïllustreerd in Piero della Francesca's De Prospectiva pingendi (ca. 1474), en tamelijk ruwe maar efficiënte methoden worden uitgelegd in Albrecht Dürers Vier Bücher von menschlicher Proportion (1528). De interesse nam een ​​vlucht in de 16e eeuw, toen al die plafondfresco's van heiligen en engelen die naar de hemel opstegen een zorgvuldige analyse van de verkorting van de menselijke figuur (en de voetzolen) vereisten. Tegen de 17e eeuw was dit onderwerp schoolonderwijs, in het kielzog van Tintoretto's carrière.

De eenvoudigste methode om een ​​figuur in perspectief te plaatsen, is door een tekening naar de natuur te maken, of een foto over te trekken, waarop de figuur in de juiste houding en vanuit het juiste gezichtspunt te zien is, passend bij de oriëntatie in de originele tekening. Deze figuurstudie wordt vervolgens op de juiste schaal gebracht en op de juiste plek overgetrokken.

Perspectieftekenen met behulp van een raster

De figuur wordt vierkantje voor vierkantje van het raster op het papier gekopieerd naar een kleiner raster, waarna deze tekening wordt aangepast aan het originele schilderij; uit Dürers Vier Bücher (1528).

De meer analytische, rigoureuze methode is het reconstrueren van de figuur door middel van de driedimensionale projectie van punten in de perspectivische ruimte. Voor zover ik weet, zijn er in deze traditie in principe drie benaderingen: (1) doorsnedeprojectie, (2) volumetrische projectie en (3) armatuurprojectie.

Piero gebruikte een doorsnedeprojectie : hij verdeelde het menselijk hoofd in parallelle sagittale vlakken, projecteerde de belangrijkste punten voor elk deel op een vergelijkbare manier als wij hierboven het achthoekige vlak hebben geprojecteerd, maar plaatste elk vierkant verticaal zo dat de anatomische afstand tussen de delen in de ruimte overeenkwam met de werkelijke afstand. Dit creëert een 'kooi' van punten en het gezicht wordt gereconstrueerd door de punten eenvoudigweg terug te vertalen naar gelaatstrekken.

De tweede methode, volumetrische projectie, analyseert eerst de menselijke figuur in een groot aantal onderling verbonden eieren, cilinders, dozen of piramides, projecteert vervolgens de belangrijkste hoeken of assen van deze eenvoudige vormen in perspectief en reconstrueert de figuur eromheen. Deze aanpak was populair in de barok en duikt zelfs nog op in 20e-eeuwse handboeken over figuurtekenen en perspectief. Ik heb er een grote afkeer van, omdat het de trekkracht, de gearticuleerde en afgeronde vorm van de menselijke figuur volledig tenietdoet. Ik denk dat actief modeltekenen een betere manier is om de vorm en de zwaarte van het lichaam vanuit verschillende perspectieven te leren kennen.

Als je deze basiskennis hebt, is armatuurprojectie een zeer efficiënte methode om de menselijke proporties in perspectiefprojectie weer te geven. Het enige wat je echt nodig hebt, is een van die houten anatomische paspoppen die in elke kunstwinkel te koop zijn.

Het projecteren van een menselijke figuur vanaf een mannequin van een kunstacademie.

de 30 cm lange Dick Blick hardhouten mannequin

De afbeelding laat de basisprincipes van de aanpak zien. Plaats de mannequin in de gewenste anatomische positie en zet hem vervolgens op een glazen tafelblad of statief. Werp een schaduw van de mannequin op een stevig wit karton eronder, met behulp van een plafondlamp of spot die zo hoog mogelijk boven de opstelling is geplaatst. Markeer de belangrijkste gewrichten op het karton, waarbij u de schaduw als leidraad gebruikt.

Plaats nu een spot of bureaulamp aan één kant van de figuur, op dezelfde hoogte als de figuur, loodrecht op de hoofdas van de figuur en op dezelfde afstand van de figuur als de plafondspot. Ondersteun stevig een tweede stijf wit karton achter de figuur, op dezelfde afstand als waar het vorige karton zich bevond. Markeer de gewrichten op dezelfde manier.

Kies de kaart met de beste spreiding van de gewrichten als je primaire vlak en teken de punten over op een vel ruitjespapier of neem direct metingen van de kaart, van elk punt tot één lange zijde en tot één eindzijde. Neem een ​​enkele set metingen van de tweede kaart tot één lange zijde. Deze metingen kunnen worden geschaald, gedraaid en overgebracht naar een meetlat met behulp van de hierboven beschreven methoden, en van daaruit geprojecteerd in perspectief. De verkorte figuur wordt vervolgens uit de vrije hand rond de gewrichten gereconstrueerd.

Ik heb deze aanpak uitgelegd met een paspop, maar het werkt pas echt goed als je twee loodrechte opnamen van een figuur kunt maken vanaf exact dezelfde afstand. Je kunt de afmetingen direct van de foto's aflezen, waarbij elke foto als 'kaart' dient waarop de afbeelding wordt geprojecteerd. Met beeldbewerkingssoftware zoals Adobe Photoshop kun je de afbeeldingen zelfs vervormen en schalen zodat ze overeenkomen met de contouren van een vooraf getekend rechthoekig vlak in perspectief. Vervolgens kun je de overeenkomende kenmerken in de twee foto's direct met elkaar verbinden, zonder te hoeven meten.

Deze benadering met behulp van een frame is impliciet aanwezig in de fotoserie van menselijke en dierlijke bewegingen van Eadwaerd Muybridge. Veel van deze bewegingsseries bevatten een zij- en vooraanzicht, of twee complementaire diagonale aanzichten (voor- en achterkant), genomen onder exact rechte hoeken. Hierdoor kunnen de belangrijkste gewrichten en lichaamsafmetingen tweedimensionaal worden gemeten aan de hand van de foto, langs de twee zijden van een vierkant of rechthoek (de derde dimensie, de verticale afstanden, is in beide foto's gelijk, of kan zo worden geschaald). Deze punten kunnen in de ruimte worden geprojecteerd binnen een rechthoekig lichaam, met behulp van Piero's sagittale doorsnedemethode of de framemethode. Het lichaam kan vervolgens vanuit elke hoek worden bekeken door simpelweg de verdwijn- en meetpunten van het omringende rechthoekige lichaam te roteren.

Natuurlijk is deze hele discussie overbodig. Kunstenaars kunnen tegenwoordig software zoals Poser gebruiken om mannelijke of vrouwelijke "digitale mannequins" in elke gewenste pose te creëren, gekleed of ongekleed, en op basis daarvan tekeningen of kunstwerken te maken; en er is een hele reeks VirtualPose- schijven beschikbaar waarmee statische figuren in twee dimensies kunnen worden geroteerd. Programma's voor grote dieren zullen ongetwijfeld volgen. 

gebouwen aan de hand van bouwtekeningen of plattegronden

De meest voorkomende toepassing van lineair perspectief begint met de vooraanzicht en plattegrond van een gebouw of object, en transformeert deze naar een driedimensionaal perspectiefbeeld.

Afhankelijk van de vorm van het object of gebouw zijn één, twee of soms drie afzonderlijke aanzichten nodig om het te construeren. Soms is het bovenaanzicht (aanzicht van bovenaf) nodig; een enkel zijaanzicht is dan voldoende. Als er meer dan één aanzicht wordt gebruikt, moeten de aanzichten loodrecht op elkaar staan.

Ik gebruik de bouwtekeningen voor een vrijstaande commerciële kas (zie hieronder). Ik teken dit gebouw in tweepuntsperspectief , wat zowel de meest gangbare architectonische conventie als een relatief eenvoudige methode is.

blauwdruk gebruikt voor perspectiefplan

De eerste stappen bestaan ​​altijd uit het bepalen van de schaal en de fundamentele verhoudingen van de tekening. Zoals beschreven in voorgaande paragrafen, betekent dit (1) het kiezen van het beeldformaat of de afmetingen van de tekening om de belangrijkste vormen in de afbeelding zo goed mogelijk weer te geven; (2) het kiezen van de beste kijkhoek (frontaal, schuin) om de belangrijke kenmerken en verhoudingen van het gebouw te tonen; (3) het aanpassen van de schijnbare afstand tot het gebouw langs de kijkhoek om aangename vormverhoudingen te creëren binnen de cirkel van het beeld en het formaat; (4) het verplaatsen van het gezichtspunt omhoog of omlaag om een ​​effectief ankerpunt en horizonlijn te bepalen; en ten slotte (5) het lokaliseren van de noodzakelijke verdwijnpunten en meetpunten om te beginnen met de perspectiefconstructie. 

Afbeeldingsformaat en kijkafstand . Voor presentatiedoeleinden kies ik voor een bescheiden formaat voor de tekening of het schilderij en werk daarom op een kwartvel (28 x 38 cm). Gezien de afmetingen van het vel gaan we ervan uit dat de kijkafstand tot de tekening ongeveer 60 cm is, wat iets meer is dan de normale afstand voor het lezen van een boek (46 cm), maar veel minder dan de normale afstand voor het bekijken van een schilderij (152 cm). Met andere woorden, we willen dat de tekening van dichtbij wordt bekeken, en niet een groots effect heeft. Andere formaten en verhoudingen zouden geschikter zijn voor andere presentatiedoelen, weergave-instellingen, media, enzovoort. 

Schaal en kijkhoek . Aan de hand van de bouwtekeningen bepaal ik dat de voltooide kas 27 voet lang, 25 voet breed en 14 voet hoog zal zijn. Op basis van deze specificaties kan ik een schaalvorm definiëren : een rechthoek met dezelfde verhoudingen als de contouren van het gebouw (het kan zelfs een overtrek of een fotokopie op ware grootte van de bouwtekening zijn), ongeveer even groot als het afbeeldingsformaat met een diagonale lijn erin.

De plattegrondverhoudingen zijn 27/25 of 1:1,08, en het beeldformaat is 11 inch hoog (liggend), dus de schaalverdeling is getekend op 11,9 inch x 11 inch inclusief een diagonaal. Dit geeft de plattegrondverhoudingen van het gebouw weer en wordt in het diagram weergegeven als de magenta rechthoek.

Bouwen aan de hand van een bouwplan: afmetingen en indeling

weergegeven in een gezichtsveld van 60°

Vervolgens draai of roteer ik dit schaalmodel totdat de hoek van de zijden ten opzichte van de middellijn overeenkomt met de gewenste kijkhoek op het gebouw. ​​Met andere woorden, ik draai de magenta rechthoek naar links of rechts totdat ik de gewenste visuele verhoudingen in de voorgevel en zijkant van het gebouw heb.

Zodra ik de gewenste kijkhoek heb, kies ik een punt op de diagonaal van de schaalvorm dat de visuele breedte bepaalt van de structuur die het beste past binnen de afmetingen. In de afbeelding heb ik een punt gekozen dat precies 66% van de oorspronkelijke diagonale lengte van de schaalvorm bedraagt. Deze breedte biedt ruimte voor een weergave van de omgeving rond de kas – paden, bomen, lucht, enz. Door nu twee nieuwe zijden parallel aan de zijden van de schaalvorm vanuit dit diagonale punt te verlengen, krijg ik een geschaalde plattegrond (grijze rechthoek in de afbeelding) met de exacte verhoudingen die passen binnen het formaat.

Ik verschuif deze schaaltekening naar links of rechts totdat de horizontale positie in het formaat naar wens is. Vervolgens trek ik twee verticale lijnen vanuit de tegenoverliggende hoeken van de schaaltekening om de visuele breedte van het gebouw te definiëren. Ik trek een derde lijn vanuit de hoek van de schaaltekening die de dichtstbijzijnde hoek van het gebouw vertegenwoordigt zoals die in de uiteindelijke tekening te zien zal zijn.

Ter controle bepaal ik nu de schaal van de tekening. Dit doe ik door een willekeurige zijde van de schaaltekening op te meten en die lengte te delen door de werkelijke lengte van het te bouwen gebouw. ​​In dit voorbeeld blijkt de breedte (korte zijde) van de schaaltekening 7,26 inch te zijn. De basisverhoudingen tussen grootte en afstand schrijven voor dat deze tekeningsgrootte gedeeld door de kijkafstand tot de tekening (18 inch) gelijk is aan de werkelijke breedte van de kas (300 inch) gedeeld door de kijkafstand tot de kas. De berekening laat zien dat de kas getekend zal worden zoals deze eruit zou zien vanaf een afstand van ongeveer 62 voet, een verkleining van ongeveer 2,4% ten opzichte van de werkelijke grootte.

Het is ook handig om de schaal van de tekening af te stemmen op de schaal van de bouwtekeningen, zodat alle afmetingen die van de bouwtekeningen worden overgenomen direct kunnen worden omgezet in afmetingen op de tekening. (Als u een fotokopie van de bouwtekening op ware grootte als schaalmodel gebruikt, heeft u deze stap al gedaan toen u de schaaltekening maakte.) In dit geval zijn de bouwtekeningen op schaal 1/2" = 1 voet, dus de breedte van de kas op de bouwtekening is 12,5". De overeenkomstige breedte op de schaaltekening is 7,26", wat een verkleining van 58% is. Als ik bijvoorbeeld een raambreedte van 1" op de bouwtekening meet, kan ik dit direct overzetten naar de tekening als een raambreedte op verkleinde schaal van 0,58".

Ten slotte kan ik de lengte van de ankerlijn bepalen: deze is 2,4% van de gebouwhoogte van 14 voet, oftewel 58% van de hoogte op de bouwtekening van 7 inch, ofwel ongeveer 4,0 inch hoog. Vervolgens bepaal ik het punt waar de horizon de ankerlijn snijdt, gebaseerd op de impliciete hoogte van het gezichtspunt. Als de kas bijvoorbeeld wordt bekeken zoals een volwassene die op een vlakke ondergrond staat deze zou zien, is deze hoogte (de hoogte van de waarnemer, oftewel 68 inch) gelijk aan een tekeninggrootte van 1,63 inch (2,4% van 68 inch), waardoor de horizonlijn de ankerlijn 1,63 inch van het onderste uiteinde zou snijden. In plaats daarvan besluit ik een iets hoger gezichtspunt te nemen van ongeveer 8 voet (96 inch), alsof de kas wordt bekeken vanaf een verhoogd terras of een flauwe helling. Daardoor komt het ankerpunt (het onderste uiteinde van de ankerlijn) ongeveer 2,3 inch (2,4% van 96 inch) onder de horizonlijn te liggen.

De laatste stap is het bepalen van de horizonlijn ten opzichte van de boven- of onderkant van het formaat. Begin met de horizonlijn in het midden van het formaat en ga van daaruit verder voor een optimaal visueel effect. Normaal gesproken impliceert een opwaarts perspectief (gezichtspunt dicht bij het grondvlak) een lage horizonlijn, omdat de kijkrichting naar de hemel is; een verhoogd perspectief impliceert een hoge horizonlijn, omdat de kijkrichting naar beneden is.

In dit geval heb ik, ondanks de iets hogere kijkpositie, ook een horizonlijn gekozen die iets lager ligt dan de horizontale middellijn van het beeldformaat. Dit geeft een zicht op de omgeving achter de kas en in de verte, wat een gevoel van open ruimte en de natuur oproept. Het punt waar deze horizon de middellijn – die in het midden van het formaat is geplaatst – kruist, bepaalt de kijkrichting. 

Gezichtscirkel en tekeninvloed . Omdat de kijkafstand tot de tekening 18 inch is, ben ik ervan uitgegaan dat 18 inch ook de straal is van de 90°-gezichtscirkel in het beeldvlak (het vlak van de tekening): de gezichtscirkel is dus 36 inch of 3 voet breed. Aangezien ik de middellijn en de horizonlijn, het ankerpunt en de ankerlijn al heb vastgesteld, kan ik vanaf hier de gezichtscirkel rond het hoofdpunt tekenen, de schaaltekening gebruiken om de verdwijnpunten te roteren rond het snijpunt van de gezichtscirkel en de middellijn, en vanuit deze verdwijnpunten de meetpunten bepalen en met de tekening beginnen.

Wat voor visuele impact heeft die beeldcirkel? Om dat te achterhalen, deel ik de objectafstand van 62 voet door de objectgrootte van 27 voet, wat een verhouding van 2,3 oplevert. Volgens de tabel met beeldcirkels komt deze afstand/grootte-verhouding voor die objectgrootte op die afstand overeen met een minimale beeldcirkel van ongeveer 25°. Dit ligt ruim binnen de maximale beeldcirkel van 40° die extreme perspectiefvervormingen in de tekening voorkomt.

Door de kijkcirkel echter simpelweg te vergroten of te verkleinen ten opzichte van de juiste straal van 18 inch, kan ik de visuele impact van perspectiefvervormingseffecten vergroten of verkleinen .

Een kleinere kijkcirkel vergroot de perspectiefvervormingen , waardoor het gebouw of het hoofdobject dynamischer oogt, de ruimtelijke beleving en het volume van het object worden versterkt en de voorvlakken of verticale dimensies van de vorm worden benadrukt.

Een grotere beeldcirkel minimaliseert deze effecten, waardoor de vorm minder dynamisch en meer "abstract" of geïdealiseerd lijkt, de perspectivische ruimte vlakker wordt, het object minder driedimensionaal lijkt (zoals bij een telescoop ) en alle onderdelen van het object gelijkmatig worden benadrukt.

In dit geval weet ik dat de eigenaar van de kas waarde hecht aan haar rust en stilte... geen dreigende of torenhoge vormen voor haar. Ik ben ook van mening dat het basisontwerp van de kas een goede balans heeft tussen hoogte en plattegrond, dus er valt niets te winnen door de verticale dimensie te benadrukken. Bovendien weet ik dat de kas zo is ontworpen dat hij goed opgaat in de omgeving. Met deze overwegingen in gedachten vergroot ik de tekencirkel met 25% (van 91 cm naar 114 cm), om een ​​vlakker, meer geïdealiseerd beeld van het voltooide gebouw te creëren en het gebouw visueel in de achtergrond te laten opgaan door de perspectivische ruimte af te vlakken, zoals het eruit zou zien binnen een gezichtsveld van 18°.

Nu zijn alle lay-outoverwegingen — formaat, kijkafstand, objectoriëntatie, tekenformaat, schaal van het beeld, ankerpunt, ankerlijn, horizonlijn, middellijn, kijkrichting, objectcirkel en tekencirkel — zorgvuldig doordacht en gespecificeerd in relatie tot elkaar en de ontwerpdoelen van de afbeelding. Nu kan ik de tekencirkel tekenen, de verdwijnpunten roteren en de meetpunten bepalen, zoals weergegeven in de bovenstaande afbeelding. 

Het opmeten van de voorgevels . Nadat de belangrijke ontwerp- en indelingsbeslissingen zijn genomen, zijn de volgende stappen eenvoudig en mechanisch. Eerst wordt de voorgeveltekening genomen en op dezelfde schaal gebracht als de tekening. De daadwerkelijke blauwdruk of geveltekening kan worden vergroot of verkleind met behulp van een zoomkopieerapparaat, of de afmetingen kunnen van het origineel worden afgemeten en op schaal worden gebracht met een rekenmachine, of de afmetingen kunnen door de constructie zelf worden bepaald .

In beide gevallen hangt de benodigde verkleining af van de schaal van het origineel. Als de bouwtekening bijvoorbeeld op een standaard architectenschaal van 1/4" = 1 voet is, dan is er al sprake van een verkleining van 2,1% ten opzichte van de werkelijke constructie. In dit geval heb ik al vastgesteld dat mijn tekening een verkleining van 56% heeft ten opzichte van de schaal van de bouwtekening, dus ik kan een zoomkopieerapparaat gebruiken om plattegronden en gevelaanzichten op die schaal te maken, of de belangrijkste afmetingen van de constructie aanpassen.

Bouwen aan de hand van een bouwplan: voorgevels

weergegeven in een gezichtsveld van 60°

Zoals in de afbeelding te zien is, plaats ik de schaaltekening van de voorgevel onder het ankerpunt, met de rechterrand van het gebouw precies onder het ankerpunt. Ik trek een horizontale lijn links van het ankerpunt als maatbalk (dikke magenta lijn). (Als ik direct op de tekening werk, vind ik het netjes en handig om de maatbalk met één stuk tekentape te maken; als ik klaar ben, kunnen deze meetpunten en de maatbalk eenvoudig worden verwijderd door de tape eraf te trekken.)

Verbind vervolgens het ankerpunt met het linker verdwijnpunt ( vp ₁ ) door de lijn te tekenen met een licht grafietpotlood of een uitwisbaar blauw potlood.

Nu neem ik de belangrijke horizontale intervallen in de geveltekening mee – de zijkanten van de deur, de breedte van de ingang, de nok van het dak, de breedte van het gebouw – rechtstreeks naar de meetlat. Ik markeer deze zo nauwkeurig mogelijk.

Ten slotte gebruik ik een lange liniaal om elk streepje op de maatbalk te verbinden met het juiste meetpunt ( mp ₂ ). De intervallen in de voorgevel in perspectiefverkleining bevinden zich waar deze meetlijnen de verdwijnlijn naar vp ₁ snijden .

Ik markeer elk snijpunt zorgvuldig en trek vervolgens vanuit elk punt een verticale lijn omhoog met een zeer licht grafietpotlood of een uitwisbaar blauw potlood. Ten slotte verwijder ik de voorgevel en gum of verwijder ik de meetlat.

Bouwen aan de hand van een bouwplan: zijprojecties

weergegeven in een gezichtsveld van 60°

Het meten van de zijprojecties . Vervolgens herhaal ik deze procedures met de zijaanzicht, waarbij ik ditmaal de verdwijnlijn teken van het ankerpunt naar vp ₂ , de meetlat rechts van het ankerpunt plaats, de meetmarkeringen van de rechter meetlat naar mp ₁ neem en de verticale lijnen teken op het punt waar elke lijn de verdwijnlijn van het ankerpunt naar vp ₂ snijdt .

Bouwen aan de hand van een plattegrond: verticale uitsteeksels

weergegeven in een gezichtsveld van 60°

Het meten van de verticale uitsteeksels . De zij- en vooruitsteeksels delen een gemeenschappelijke verticale lijn, de ankerlijn, die vanaf het ankerpunt omhoog loopt. Deze lijn dient ook als meetlat voor de verticale uitsteeksels: de boven- en onderkant van de deur en de traptreden, de overdekte ingang en de dakrand en nok van het dak.

Als er duidelijk verschillende kenmerken zijn aan de voor- en zijkant van het gebouw – zoals bijvoorbeeld bij de gevel en zijkanten van een gotische kathedraal – dan moet u de verticale afmetingen voor beide zijden afzonderlijk opmeten. Ook hier is afplaktape een uitstekende, verwijderbare meetlat.

Voor deze kas-tekening worden de belangrijkste kenmerken aan de zijkant bepaald door de dakrand, die zichtbaar is op de voorgevel. Dus alleen die gevel wordt gebruikt. Eerst moet ik de basis of fundering van het gebouw zo uitlijnen dat deze precies op een horizontale lijn ligt vanaf het ankerpunt. Vervolgens breng ik de belangrijke hoogtes over op de meetlat met horizontale lijnen.

Het voltooien van de tekening . De verticale projecties worden doorgetrokken naar beide verdwijnpunten ( vp ₁ en vp ₂ ), en de verticale lijnen die de belangrijke horizontale intervallen aan de voor- en zijkant markeren, worden op de juiste hoogte afgesneden.

Deze tekening heeft een puntdak, wat enige precisie vereist, zoals weergegeven in de onderstaande afbeelding. De punt van het terugspringende dak wordt aangegeven door de lijn die vanaf b omhoog loopt, een _punt dat is bepaald aan de hand van de voorgevel. De hoogte ervan wordt echter aangegeven op de voorste meetlat bij a , op een verdwijnlijn die teruggetrokken wordt naar vp1 . De voorste punt van het dak bevindt zich op het snijpunt van deze lijn en b , bij punt x .

Bouwen aan de hand van een plan: de tekening afmaken

weergegeven in een gezichtsveld van 60°

De dakrand bevindt zich op het punt waar de hoogte ervan (aangegeven door de verdwijnlijn vanaf punt c op de verticale meetlat) de verticale lijnen kruist die de voor- en linkerhoek van de kas markeren, de lijnen die omhoog lopen vanaf d en e . Door deze dakrandhoogtes met x te verbinden , wordt de voor- en achterhelling van het dak in perspectief bepaald.

Door x met vp ₂ te verbinden, wordt de nok van het dak over de lengte van de kas bepaald. Maar hoe vind ik de nok aan de achterkant van de kas? Ik verbind a met vp ₂ en bepaal het punt waar deze lijn de lijn snijdt die vanuit de achterhoek van de kas omhoog loopt ( f ). Vervolgens trek ik een lijn van dit punt naar vp ₁ : punt x' bevindt zich dan op het snijpunt van deze lijn met de nok van het dak. Ten slotte bepaal ik c' door c met vp ₂ te verbinden en maak ik de achterste dakhelling af met een lijn van x' naar c' .

Nu kan ik de buitenvlakken sluiten, hulplijnen en stippellijnen wissen en de tekening afmaken met zoveel detail, schaduw en achtergrond als ik wil. De geschatte lay-out van de voltooide tekening binnen het formaat van 11"x15" is weergegeven in de afbeelding.  

parallelle perspectieven

In de inleiding van dit perspectiefmateriaal heb ik gesteld dat het gezichtspunt , en niet de objecten in de ruimte, het fundamentele thema van perspectief is. Een gevolg hiervan is dat de objecten in de ruimte niet altijd scherp gedefinieerd zijn. De zijkant van een gebouw kan zich in de kijkrichting terugtrekken, waardoor de lengte, openingen of details van de zijkant worden verhuld, of het gebouw kan buiten de 60°-cirkel van het gezichtsveld uitsteken, waardoor de vorm vervormd lijkt.

Naarmate de commerciële productie, militaire landmeting en industriële techniek zich in de 18e eeuw uitbreidden, werden technische tekenmethoden ontwikkeld voor civiele en militaire toepassingen. Deze methoden toonden de driedimensionale vorm van objecten of locaties en registreerden tegelijkertijd nauwkeurig hun fysieke afmetingen. Deze technieken werden voor het eerst gepubliceerd door Christian Rieger en Johann Heinrich Lambert in de jaren 1750 en verder ontwikkeld door dominee William Farish in 1820.

verschil tussen centrale en parallelle projecties

De innovatie die deze niet-convergerende, paraline projecties (een afkorting van parallelle lijnprojecties ) gemeen hebben, is dat de fysieke vorm op het beeldvlak wordt geprojecteerd door middel van parallelle projectielijnen . Dit geeft paraline beelden drie unieke eigenschappen (zie diagram hierboven):

• Er is geen gezichtspunt of convergentiepunt voor de projectielijnen (technische bronnen stellen dit als "er is een oneindige afstand tussen het beeldvlak en het gezichtspunt").

• Als gevolg van deze projectiemethode zijn alle parallelle lijnen in de ruimte ook parallel in het beeld (met andere woorden, er zijn geen verdwijnpunten in welke richting dan ook) — de naam "parallelle projectie" is dus ook in een tweede betekenis toepasselijk.

• De beeldgrootte is onafhankelijk van de projectieafstand ; parallelle projecties kunnen geen ruimtelijke terugtrekking weergeven.

Bij centrale projecties of perspectieven wordt de fysieke vorm daarentegen op het beeldvlak geprojecteerd met convergerende projectielijnen naar het gezichtspunt. Dit kan ertoe leiden dat parallelle lijnen in de ruimte convergeren, afhankelijk van of de projectie 1PP, 2PP of 3PP is en of de lijnen horizontaal of verticaal zijn; in elk geval ligt de focus op de relatieve positie van de verdwijnpunten. De beeldgrootte is nu afhankelijk van de afstand van het object tot het beeldvlak of gezichtspunt en de oriëntatie ervan ten opzichte van het beeldvlak; diepteafmetingen worden verkort en diepteverschillen worden weergegeven.

Soorten paraline projectie . De verschillen tussen paraline beelden kunnen worden gedefinieerd aan de hand van een van de twee conventies (zie bovenstaand diagram):

•  Analytisch : definities worden gegeven in termen van (1) de projectiehoeken tussen de ribben of vlakken van een kubus en het beeldvlak, en (2) de projectiehoek tussen de parallelle projectielijnen en het beeldvlak.

•  Grafisch : definities worden gegeven in termen van (1) de relatieve schaal van de drie dimensies van een kubus in de afbeelding, en (2) de drie willekeurige beeldhoeken tussen de ribben van een kubus in de afbeelding.

De analytische definitie is afgeleid van de projectieve meetkunde, heeft een wiskundige basis en definieert beelden in termen van de projectiehoeken, die doorgaans irrationale getallen opleveren voor de dimensieverkorting of de vlakhoeken van een kubus; er wordt niet expliciet verwezen naar de beeldeigenschappen. Aan het einde van de 20e eeuw werd deze traditie aangepast aan de computationele methoden van computergraphics, met name gameprogrammering.

De grafische traditie is afgeleid van technische tekenmethoden en tekenconventies: er worden uitsluitend gestandaardiseerde (sjabloon)hoeken en maatschalen gebruikt, één maat is altijd verticaal in de tekening, en de schaal van een verkorte maat is meestal een eenvoudige breuk (bijv. 1/2) van de andere maat/maten; er wordt niet expliciet verwezen naar de projectiegeometrie.

Problemen ontstaan ​​wanneer deze tradities verward of vermengd raken. Het heeft geen zin om projectiehoeken te definiëren voor niet-computationele, grafische toepassingen. In tegenstelling tot wat veel online bronnen beweren, moet de grafische definitie van parallelle projecties zowel de relatieve schaal van de horizontale, verticale en dieptedimensies als de grafische hoeken daartussen vermelden. Relatieve schaal wordt gedefinieerd als isometrisch (alle drie zijden van een kubus worden op gelijke schaal getekend), dimetrisch (twee zijden van een kubus, meestal de horizontale en verticale, worden op gelijke schaal getekend) en trimetrisch (alle zijden van de kubus worden op verschillende schalen getekend).

Het onderstaande diagram toont vijf illustratieve parallelle projecties met hetzelfde voorbeeld van "kazerne, muur en wachttoren": multiview orthografisch, 30°/30° isometrisch, 60°/30° isometrisch, 42°/7° dimetrisch en militair (45°/45° isometrisch).

parallelle projecties

Multiview orthografische projecties . De eerste parallelle projecties waren de vooraanzicht en plattegrond van een gebouw. ​​In de analytische literatuur worden deze orthogonale projecties genoemd , omdat de projectiestralen loodrecht op het beeldvlak staan. In de grafische literatuur worden ze orthografische aanzichten genoemd , omdat rechte hoeken in een kubus ook als rechte hoeken in het beeld verschijnen.

Om dit te bereiken, worden twee dimensies van de primaire vorm parallel aan het beeldvlak georiënteerd. De derde dimensie wordt niet simpelweg verkort, maar volledig uit het zicht verwijderd.

Dit is het grootste nadeel van orthografische weergaven: elke tweedimensionale projectie onderdrukt de derde dimensie volledig, waardoor de lezer gedwongen wordt om mentaal twee of meer verschillende tekeningen te combineren om een ​​driedimensionaal beeld te krijgen. In het voorbeeld is het niet mogelijk om de vorm van de kazerne of het torendak af te leiden uit de plattegrond, en alleen de y/z -aanzicht laat zien dat het kazernedak een zadeldak heeft. Daarom zijn meerdere orthografische weergaven nodig om de fysieke vorm van het gebouw volledig te begrijpen.

Axonometrische projectie . Bij axonometrische projecties worden alle drie de dimensies weergegeven als een tweedimensionaal beeld; de derde of dieptedimensie wordt in het beeld gebracht door alle drie de dimensies expliciet op een relatieve schaal en met een interne hoek te tekenen.

De algemene methode voor het ontwikkelen van een axonometrische tekening is als volgt: (1) begin met de plattegrond op schaal getekend, georiënteerd om het optimale parallelle beeld te produceren; de horizontale dimensie wordt aangeduid met x en de verticale dimensie met z ; selecteer vervolgens de corresponderende geveltekening op dezelfde schaal en met dezelfde horizontale dimensie x en verticale dimensie y ; (2) construeer alle verticale lijnen y als parallelle verticale lijnen in de tekening, op een schaal van 1:1 of een verkleinde schaal ten opzichte van de schaal van de geveltekening; (3) teken alle x- dimensies onder een constante hoek ten opzichte van de horizontale lijn, links of rechts van de eindpunten van de verticale lijnen, op een schaal van 1:1 of een verkleinde schaal ten opzichte van de schaal van de geveltekening; en (4) teken alle z- dimensies onder een constante hoek en schaal ten opzichte van de horizontale lijn, aan de tegenoverliggende zijde van de verticale lijnen ten opzichte van de x- dimensies.

Binnen dit algemene projectiepatroon zijn de enige grafische variaties in parallelle projecties de relatieve schaal van de drie dimensies en de hoeken van de twee andere dimensies ten opzichte van de horizontale as.

30°/30° Isometrische projectie . Dit is een van de meest gebruikte parallelle projecties van tegenwoordig, zozeer zelfs dat "isometrisch" synoniem is geworden met een parallelle projectie. Analytisch gezien wordt deze projectie verkregen wanneer alle drie de voorste ribben van een kubus een gelijke hoek (ongeveer 35,3°) met het beeldvlak maken. Grafisch worden alle drie de hoeken weergegeven door gelijke binnenhoeken (120°) (bijvoorbeeld de twee niet-verticale dimensies maken een hoek van 30° met een horizontale lijn), en alle drie de dimensies worden op gelijke schaal getekend (1:1:1).

Grafisch gezien wordt een isometrische tekening van 30°/30° als volgt gedefinieerd: (1) de verticale ( y ) dimensies worden verticaal getekend; (2) de x- en z- dimensies worden onder een hoek van 30° ten opzichte van de horizontale getekend, en (3) alle dimensies worden op dezelfde schaal getekend. Hierdoor worden zowel horizontale als verticale cirkels als ellipsen weergegeven.

Standaard isometrische lijntekeningen worden gemaakt met behulp van een voorgedrukt isometrisch raster (dat bestaat uit parallelle verticale lijnen die worden doorsneden door parallelle lijnen onder een hoek van 60° en 30° ten opzichte van de verticaal) dat onder het werkoppervlak wordt gelegd, of met soortgelijke voorgedrukte vellen architectenpapier, of met de standaard tekendriehoeken van 30°/60°/90°. In computergraphics (bijvoorbeeld in SimCity ) zijn de grafische hoeken, vanwege de beperkingen van pixelweergave, feitelijk 26,6°, waardoor schuine lijnen kunnen worden weergegeven in oplopende of aflopende segmenten van twee pixels.

60°/30° Isometrische projectie . Hoewel het visueel aantrekkelijk is en een vergelijkbare 2PP-perspectieftekening zeer goed benadert, kent het standaard isometrische formaat twee problemen: (1) het grondplan wordt niet weergegeven, maar lijkt samengedrukt in een ruitvorm, en (2) deze compressie beïnvloedt het uiterlijk van veel onregelmatige vormen (zoals cirkels en bollen, of rechthoekige vormen onder een ongebruikelijke hoek ten opzichte van de drie primaire dimensies; zie de "toren" in de voorbeeldtekening).

Beide problemen worden verholpen door een van de schuine zijden onder een hoek van 60° ten opzichte van de horizontale lijn te plaatsen; de tekening is nu planometrisch (het grondplan wordt exact in de afbeelding weergegeven) en daardoor zijn onregelmatige vormen gemakkelijker te interpreteren.

Dit brengt echter een nieuw probleem met zich mee: de verticale dimensie lijkt nu overdreven of langwerpig. Dit kan gedeeltelijk worden verholpen door de verticale dimensie op 3/4 of 2/3 schaal te tekenen.

45°/45° (Militaire) Isometrische projectie . Dit is ook een isometrische projectie omdat alle drie de zijden dezelfde schaal hebben. In de grafische literatuur wordt dit soms een plan-oblique projectie of planometrische projectie genoemd , omdat de hoeken en afmetingen in het vlak exact worden weergegeven. (Merk op dat de militaire "projectie" niet orthogonaal is, maar ook niet oblique: analytisch gezien is het niet mogelijk om hetzelfde beeld te produceren door parallelle lijnen onder een schuine hoek ten opzichte van het beeldvlak.)

Het voornaamste bezwaar tegen militaire projectie, zoals bij de 60°/30° isometrische projectie, is dat het de "diepte" van de tekening lijkt te overdrijven. Daarom wordt de z- as (voor zijaanzichten) of de y -as (voor bovenaanzichten, zoals in het voorbeeld) soms met de helft verkort, waardoor een echte dimetrische tekening ontstaat: dit wordt een kabinetprojectie genoemd.

42°/7° Dimetrische projectie . Er zijn verschillende voorstellen gedaan voor parallelle projecties die het centrale perspectief beter benaderen; deze lijken op het eerste gezicht perspectieftekeningen (bij "telefoto"-opnamen of zeer grote objectafstanden), hoewel elke dimensie een exacte, constante schaal heeft ten opzichte van de corresponderende aanzichten of plattegronden. Eén voorstel oriënteert de twee schuine dimensies op 7° en 42° ten opzichte van het horizontale vlak; de lengte van de dimensie op 42° is ook verkleind tot een schaal van 1/2.

Hoewel deze formaten zeer goed werken voor kubieke of rechthoekige vormen, zijn ze minder succesvol voor onregelmatige vormen, zoals te zien is in de "toren" van de 42°/7°-dimetrische tekening.

Het artistieke belang van parallelle projecties . Waarom zouden kunstenaars zich bezighouden met de rigide methoden van technisch tekenen? Omdat perspectief in al zijn aspecten een opmerkelijk helder 'laboratorium' is waarin we veel van de diepgaande of complexe problemen van artistieke representatie kunnen bestuderen.

In de kunstgeschiedenis worden parallelle projecties kenmerkend voor klassieke Chinese en Japanse rolschilderingen. In Europa werden parallelle voorstellingen een belangrijk stijlkenmerk van de schilderkunst uit het begin van de 20e eeuw; kubistische schilderijen wemelen van voorbeelden van in wezen planometrische of isometrische ontwerpen, en Charles Sheeler maakte een prachtig schilderij (afbeelding rechts) dat planometrische, isometrische en dimetrische afbeeldingen van rechthoekige of vierkante vormen combineert om ruimtelijk volume te suggereren en tegelijkertijd ruimtelijke diepte te contrasteren; let op de precieze manier waarop de tafelpoten het vierkante tapijtpatroon erachter kruisen. Sheeler was duidelijk vertrouwd met de conventies van technisch tekenen en wist deze op een effectieve manier artistiek toe te passen.

Op een dieper niveau vertegenwoordigen zowel de orthografische als de parallelle projectie verschillende oplossingen voor twee fundamentele en verwante artistieke problemen: vereenvoudiging en schematisering. Alle kunstenaars, ongeacht hun stijl of artistieke doelen, worstelen voortdurend met deze twee problemen.

Vereenvoudiging is de beslissing om informatie – details, complexiteiten, afmetingen of kenmerken – weg te laten op een manier die andere informatie duidelijker maakt. Bij orthografische projectie wordt de derde dimensie geëlimineerd. Zowel bij orthografische als isometrische projectie lijkt het object alsof het van oneindig ver weg wordt bekeken, waardoor informatie over de fysieke locatie van het gezichtspunt ten opzichte van de objecten in het beeld verloren gaat; het gezichtspunt is in feite denkbeeldig.

Toch behouden alle projectietekeningen, zowel in parallelle als in perspectivische stijl, de kijkrichting als de gemiddelde of parallelle richting van de projectielijnen. De achterkant van het object wordt niet weergegeven en alle hoeken worden in een specifieke en consistente relatie tot elkaar of tot een verdwijnpunt getoond. Dit leidt ons tot het inzicht dat vereenvoudiging vaak paradoxaal kan zijn – hoe kan er een kijkrichting zijn als er geen gezichtspunt is?! – en dat we door informatie weg te laten juist tegenstrijdigheden of raadsels creëren, waardoor het beeld of het visuele idee conceptueel complexer wordt, hoewel perceptueel minder complex. Zoek eens naar vergelijkbare paradoxen in andere vormen van artistieke vereenvoudiging (kubisme, fauvisme, expressionisme, abstract expressionisme).

Schematisering houdt in dat deze conceptuele paradoxen worden gladgestreken door ze consistent of equivalent te maken waar ze ook verschijnen, of door een hiërarchie of systeem van dominantie ertussen te creëren. Hoewel schematische keuzes vaak willekeurig zijn en kunnen afhangen van subjectieve esthetische criteria zoals helderheid, harmonie, nadruk of contrast, kunnen de schematische criteria worden gekozen omdat er een primair extern publiek of doel is voor de tekening waaraan het schema is aangepast. Zo is het bezwaar tegen sommige parallelle tekeningen dat ze de ene dimensie lijken te overdrijven ten opzichte van de andere; de ​​parallelle schematisering moet complexer worden gemaakt (bijvoorbeeld door een dimetrisch of trimetrisch formaat te gebruiken in plaats van een 'eenvoudig' isometrisch formaat) om het resulterende beeld gemakkelijker (eenvoudiger) te interpreteren.

In het algemeen verwijst 'artistieke stijl' naar de strategieën die worden gebruikt om een ​​beeld te vereenvoudigen of te compliceren op manieren die een visueel of esthetisch aantrekkelijker resultaat opleveren. De schoonheid van parallelle projecties en verfijnde schilderijen schuilt in de manier waarop ze vereenvoudiging en schematisering gebruiken om een ​​leesbaarder en indrukwekkender beeld van de wereld te creëren. 

kromlijnige perspectieven

Een van de meest ongrijpbare, maar blijkbaar inspirerende doelen van perspectiefstudies sinds de 19e eeuw is het kromlijnige perspectief, waarbij de ruimte wordt weergegeven met behulp van verdwijnkrommen in plaats van verdwijnlijnen. Doordat deze krommen aan beide uiteinden lijken samen te komen, creëren de horizontale en verticale dwarslijnen elk twee verdwijnpunten, terwijl een vijfde verdwijnpunt wordt gecreëerd door de orthogonale lijnen parallel aan de kijkrichting. Vandaar de naam vijfpuntsperspectief of sferisch perspectief voor sommige van deze projectiesystemen.

Charles Sheeler's Interior (1926)

De verschillen in uiterlijk tussen lineair en curvilineair perspectief worden weergegeven in het overdreven voorbeeld rechts. De lineaire projectie lijkt objecten in de verte verder weg te duwen en objecten dichtbij te dichtbij te laten lijken, buiten proportie te laten lijken en grove vervormingen aan de uiteinden te vertonen. Curvilineair perspectief concentreert de zijaanzichten in het midden van het beeld, maar versterkt impliciet het gevoel van persoonlijke aanwezigheid door de snel toenemende divergentie van de naderende orthogonale lijnen (lijnen op de vloer).

Kromlijnig perspectief is vaak verdedigd als onderdeel van een kritiek op lineair perspectief. Veel bezwaren vloeien voort uit de bekende perspectiefvervormingen . De standaard (en volledig effectieve) oplossing voor deze representatieconflicten was om het onderwerp van grote afstand te bekijken, zodat het binnen een beperkte gezichtscirkel past , of om een ​​schuine kijkhoek te kiezen , zodat de tapsheid van de horizontale of verticale elementen consistent is met het effect van een van de verdwijnpunten. Deze oplossingen zijn echter onpraktisch, met name voor de weergave van architectonische interieurs, zoals het schip van een kathedraal, waar een beperkte gezichtscirkel een adequaat zicht op de architectuur uitsluit.

Hier presenteer ik een vereenvoudigde methode om zelf kromlijnige tekeningen te maken, en een uitgebreidere bespreking van de historische rechtvaardiging voor kromlijnige methoden, met verwijzingen naar boeken waar u meer informatie kunt vinden. Helaas zijn de beste van deze boeken niet meer verkrijgbaar of niet vertaald, maar een goede universiteitsbibliotheek kan u wellicht helpen ze te vinden.

Het maken van kromlijnige tekeningen . Het perspectiefkader voor het maken van kromlijnige projecties is bewerkelijk om op te zetten, maar niet moeilijk om te begrijpen. Je doel is om een ​​sjabloon te maken dat een rechthoekig (rechthoekig) raster van oneindige hoogte en breedte voorstelt, parallel aan het beeldvlak, zoals weergegeven in het kromlijnige perspectiefsysteem van je keuze. Vervolgens teken je dit kromlijnige raster binnen een cirkelvormig gezichtsveld, zoals weergegeven voor het bolvormige sjabloon hieronder. 

sjabloon voor gebogen dwarslijnen in centraal (1PP) perspectief

weergegeven met transversalen van 5° en de normale kijkcirkel van 60°, wat gelijk is aan een kijkcirkel van 70° in de sferische projectie.

Om een ​​normale (lineaire) perspectieftekening of foto in de nieuwe perspectiefruimte te projecteren met behulp van het raster, moet u de tekening eerst op de gebruikelijke manier vierkant maken. Let er echter op dat de hoekgrootte van de vierkanten in de lineaire afbeelding gelijk is aan de hoekafstand van de transversalen in het kromlijnige raster, anders zal de afbeelding sterk vervormd lijken. (De bovenstaande sjabloon gebruikt een hoekafstand van 5°, wat volgens de tabel met afstanden/afmetingen ongeveer overeenkomt met een breedte van 30 cm gezien vanaf 3,3 meter afstand.) De laatste stap is het kopiëren van de afbeelding in het kromlijnige raster, vierkantje voor vierkantje, en vervolgens het corrigeren van eventuele onnauwkeurigheden tijdens het proces naar de uiteindelijke versie van de tekening of het schilderij.

Het construeren van een vergelijkbaar raster in tweepuntsperspectief is veel complexer, omdat de verdwijnlijnen van voor naar achter verkort zijn. Goede resultaten zijn echter mogelijk door de 2PP-tekening op de gebruikelijke manier te maken, de tekening uit te lijnen en deze vervolgens op het gebogen oppervlak te projecteren met behulp van het bovenstaande raster. (Mocht u een meer expliciete methode kennen voor het construeren van een 2PP-sjabloon voor elke willekeurige rotatie van de 2PP-verdwijnpunten, stuur me dan een e-mail.)

Historisch gebruik van kromlijnig perspectief . Van de 16e tot de 20e eeuw onderzochten perspectieftheoretici het probleem van anamorfische of geometrisch vervormde beelden, die met behulp van een geschikte gebogen spiegel weer tot een normaal perspectiefbeeld kunnen worden hersteld. Deze studies overlapten vaak met de problemen van projectieve vervormingen in tweedimensionale beelden, met name het verschil tussen het perspectief recht vooruit en het perspectief schuin naar links of rechts.

Het concept van kromlijnig perspectief werd al in 1624 voorgesteld, in een pamflet over meteoren van de wiskundige Wilhelm Schickhardt uit Tübingen (zoals geciteerd in Erwin Panofsky's Perspectief als symbolische vorm, 1924):

Schickhardts "bewijs" van optische krommen (1624)

"Ik zeg dat alle lijnen, zelfs de meest rechte, die niet recht voor het oog staan ​​of door de as ervan gaan, noodzakelijkerwijs enigszins gebogen lijken." Schickhardts argument is dat de lijnen ab of cd groot lijken wanneer ze dicht bij de kijker zijn (bij V ), maar noodzakelijkerwijs en zichtbaar kleiner worden naarmate ze zich naar x of y verwijderen ; daarom "worden de zijkanten smaller en noodzakelijkerwijs gebogen; niet als een dak, dat wel, om een ​​scherpe hoek te creëren bij de punten o en p , maar eerder zachtjes en geleidelijk, zelfs onmerkbaar, iets als een buik, zoals passend is voor zo'n boog."

Als we bijvoorbeeld aan de voet van een grote toren staan, lijkt het metselwerk op ooghoogte in centraal perspectief; als we omhoog kijken, zien we de zijkanten nabij de top in convergerend driedimensionaal perspectief. Hetzelfde gebeurt met horizontale lijnen wanneer we voor een lange muur staan ​​en vervolgens naar het uiteinde ervan aan beide zijden kijken.

Het argument is hier echter gebrekkig, zoals al werd opgemerkt door Schickhardts tijdgenoot, de Duitse astronoom Johannes Kepler. Dit wordt duidelijk als we het "bewijs" weergeven zoals het er in lineair perspectief uitziet:

de logische denkfout in optische krommen

In dit diagram geeft de onderbreking in de verdwijnlijnen aan dat we fysiek niet in staat zijn om het beeld van de verdwijnpunten x en y te zien wanneer we recht vooruit kijken; om ze te zien moeten we de kijkrichting veranderen, en daarmee de perspectivische geometrie volledig wijzigen . Als we ons hoofd naar één kant draaien terwijl we naar een oneindig lange muur kijken, wordt de convergentie naar x of y veroorzaakt door verkorting van het beeldvlak, dat nu onder een hoek wordt bekeken, en deze convergentie neemt gestaag toe naarmate de kijkrichting parallel aan het oppervlak van de muur wordt.

Deze veranderingen in ons perspectief moeten in het diagram worden weergegeven door "onderbroken" verdwijnlijnen, om aan te geven dat er verschillende kijkrichtingen gelden tussen x en y . De krommen van Schickhardt zijn het gemiddelde van een onbekend aantal verschillende perspectiefprojecties die ontstaan ​​wanneer het hoofd en/of het beeldvlak langzaam van de ene kijkrichting naar de andere wordt gedraaid. Zijn argument is in feite gebaseerd op de waarneming van een bolide, die een groot deel van de nachtelijke hemel doorkruiste en de aandachtige blikken van waarnemers met zich meesleepte.

Maar waarom daar stoppen? Men kan ook een panoramafoto maken met een 360°-beeld, wat optisch onmogelijk is omdat het oog dan in alle richtingen tegelijkertijd een lens zou moeten zijn én aan alle kanten een netvlies. Op een gegeven moment accepteren we dat samengestelde beelden geen geldige perceptuele of perspectivische argumenten opleveren en gaan we onze eigen weg met Schickhardt.

Een ander argument uit de 17e eeuw was dat het oog een inwendig convex oppervlak is, en dat dit de kromming moet veroorzaken in lijnen die erop worden geprojecteerd. Dit argument werd empirisch weerlegd door M.H. Pirenne in zijn Optics, Painting and Photography (1970). Een meer hedendaags argument is gebaseerd op het verschijnen van groothoek- of fisheye-foto's, die gebogen lijnen projecteren op een vlakke foto en daardoor de kromming van de visuele ruimte lijken te bevestigen. Maar in deze foto's worden de afstandspunten in het beeld samengedrukt in het gezichtsveld, waardoor het virtuele projectiecentrum vóór het gezichtspunt verschuift . 

In elk geval duurde het tot de 19e eeuw voordat gebogen verdwijnlijnen werden aangeboden als betere weergaven van uitgestrekte horizontale of verticale dieptes. De excentrieke schilder Arthur Parsey (in 1836) en de amateurkunstenaar en astronoom William Herdman (in 1853) publiceerden perspectiefsystemen die parallelle dwarslijnen in centraal of tweepuntsperspectief vervingen door schuine of gebogen lijnen. Deze systemen culmineerden in het subjectieve perspectief dat in 1879 werd ontwikkeld door de Duitse wiskundige Guido Hauck. Lange, hoge kerkinterieurs waren bijzonder populaire onderwerpen voor vroege weergaven in gebogen perspectief, zoals in deze tekening van Herdman, die ongetwijfeld bedoeld is als contrast met de vele 18e-eeuwse Nederlandse schilderijen van kerkinterieurs in perfect lineair perspectief.

Architectuurtekening in gebogen perspectief

Interieur van de Rosslyn-kapel door William Herdman (ca. 1850)

Curvilineaire perspectieven kenden een grillige geschiedenis na het einde van de 19e eeuw, maar beleefden een heropleving aan het einde van de 20e eeuw. Invloedrijk in deze context waren Erwin Panofsky's Perspective as Symbolic Form (1924), gebaseerd op de wiskunde van Hauck; La perspective curviligne (1967, in 1987 in het Engels gepubliceerd als Curvilinear Perspective ) van de Franse theoretici Albert Flocon en André Barre; het "hyperbolische" systeem dat in 1973 door de kunstenaar Robert Hansen werd voorgesteld; en het "fisheye"-perspectief, ofwel groothoekperspectief, ontwikkeld door kunstenaar Michael Moose in 1986.

Er zijn diverse culturele en technologische factoren aangevoerd om de ontwikkeling van deze nieuwe systemen te verklaren, waaronder de vooruitgang in de niet-lineaire geometrie en samengestelde (groothoek) optica in de 19e eeuw, perceptuele experimenten met subjectieve kromming door Hermann Helmholtz (in het bijzonder de demonstratie dat een rij puntlichten met grote tussenruimte, loodrecht van een waarnemer af bewogen in volledige duisternis, een gebogen in plaats van een rechte lijn lijken te volgen), de ontdekking van subtiele krommingen in de oude Griekse architectuur, hernieuwde interesse in lineaire perspectiefvervormingen, de studie van nieuwe soorten kaartprojecties, de ongeëvenaarde "groothoek"-vergezichten die mogelijk zijn gemaakt door moderne ijzeren torens, wolkenkrabbers en luchtvaart... de lijst is lang.

Ik denk dat de kern van de zaak veel eenvoudiger is. Een van de grondbeginselen van de Renaissance, bepleit door zowel kunstenaars als wetenschappers, was de fundamentele eenheid tussen zien en weten. In deze traditie was lineaire perspectief niet zozeer een weergave van het zien, maar eerder een gebied waar zien en weten elkaar overlapten. Gedurende de 16e eeuw werden wiskunde en projectieve meetkunde, de procedures van perspectieftekenen en de instrumenten en methoden van landmeten, navigatie en astronomie beschouwd als verschillende aspecten van dezelfde fundamentele discipline, en verschillende van deze onderwerpen werden vaak samen in één boek behandeld.

Tegelijkertijd waren kunstenaars, van Leonardo tot Turner, zich terdege bewust van, en bezorgd over, de vele manieren waarop het lineaire perspectief niet alle visuele ervaringen nauwkeurig leek weer te geven. Tegen de 18e eeuw begon de Europese cultuur zich serieus te verdiepen in problemen rond kleurperceptie en visuele illusies. Dit toonde aan dat zien een psychologisch en subjectief proces is, heel anders dan weten, met zijn eigen eigenaardigheden en krachten. Deze realisatie creëerde een fundamentele kloof die zich sinds het einde van de 19e eeuw in de kunstpraktijk heeft uitgebreid en vertakt.

Sommige kunstenaars streefden naar de weergave van visuele ervaringen of 'visuele feiten', los van de 'kennis' die voortkomt uit waarneming. Dit was het uitgangspunt voor veel 'ziende' kunstenaars uit de 19e eeuw (van Constable tot Monet tot Bonnard), die hun werk beschreven als het kopiëren van alles wat ze op hun netvlies zagen; en voor kunstenaars zoals Manet, Seurat of J.S. Sargent , die het proces van zien analyseerden door beelden te creëren met behulp van schilderachtige visuele misleidingen, waarmee ze aantoonden dat wat we zien (of hoe we zien) niet representeert wat er 'werkelijk' is bij nadere inspectie.

Als reactie hierop verwierpen andere kunstenaars de visuele feiten ten gunste van het inzicht of 'weten' dat de ervaringsvrucht van waarneming lijkt te zijn. Dat wil zeggen, ze vonden manieren om 'hogere realiteiten' weer te geven als een soort visuele ervaring die geen expliciete referentie heeft in optische of statische beelden – in het bijzonder representaties van spiritualiteit en emotie. Deze zeer diverse traditie komt tot uiting in 'spirituele', 'constructivistische', 'kubistische', 'antiretinale', 'conceptuele', 'non-representatieve' of 'expressionistische' kunstenaars zo uiteenlopend als Matisse, Kandinsky, Duchamp, Picasso, Pollock, Riley, Rosenquist en Martin.

Tegen die achtergrond lijkt het kromlijnige perspectief een conservatieve reactie, een poging om de verbinding tussen zien en weten te herstellen door de regels van het zien aan te passen aan de intuïties van driedimensionaal weten. Het aanpassen van de regels is immers expliciet aanwezig in het "argument voor optische krommingen" dat eeuwen geleden al werd aangevoerd.

Na meer dan een eeuw van debat is de consensus dat Panofsky en andere critici van lineaire perspectief feitelijk ongelijk hebben: geen enkele andere tweedimensionale projectie is superieur aan de standaardmethoden van lineaire perspectief wanneer de perspectieftekening met één oog vanuit het perspectiefgezichtspunt (projectiecentrum) wordt bekeken. Onder die omstandigheden legt een perspectieftekening de visuele hoeken van de oorspronkelijke scène exact vast – zoals aangetoond door MH Pirenne. Schijnbare perspectiefvervormingen ontstaan ​​doordat het beeld niet vanuit het juiste projectiecentrum en de juiste kijkrichting wordt bekeken, of doordat de perspectiefgeometrie wordt gewijzigd, of doordat verschillende geometrieën in één beeld worden samengevoegd.

Voor mij is dat precies de kern van de zaak: kromlijnig perspectief vertegenwoordigt de toestand waarin je tegelijkertijd in meerdere richtingen kijkt . Daarentegen heb ik herhaaldelijk benadrukt dat lineair perspectief het beeld is van een specifiek gezichtspunt en een specifieke kijkrichting, en zodra die beperking wordt versoepeld of losgelaten, kunnen beelden gemakkelijk buigen, vloeien of vervormen tot onvoorspelbare en zeer expressieve nieuwe geometrieën.

Place Fürstenberg, Parijs, 7, 8, 9 augustus

door David Hockney

Curvilineair perspectief middelt of vat in feite de vele mogelijke gezichtspunten vanuit één enkel gezichtspunt samen, net zoals David Hockney een beeld samenstelt uit tientallen of honderden lokale, nauwkeurig uitgesneden foto's. In die context kunnen curvilineaire methoden worden gerechtvaardigd als visueel syncretisch en filosofisch "postmodern".

Leonardo en vele anderen na hem wezen op "gebreken" in het lineaire perspectief, simpelweg omdat ze dezelfde situatie vanuit twee of meer gezichtspunten beschouwden . Cultureel gezien zijn we niet langer geneigd om meerdere perspectieven of gezichtspunten als storende aantastingen van de heersende opvattingen te beschouwen.

VOLGENDE: Schaduwen, reflecties en atmosfeer

Laatst herzien op 01.1.2023 • © 2023 Bruce MacEvoy

Vierkante kolommen en tegelvloer getekend in lineair perspectief.

Dezelfde setting als getekend in kromlijnig perspectief.

(uit Ulrich Graf, 1940)