techniek

Wanneer de kubus 45° gedraaid wordt ten opzichte van de kijkrichting, valt een van de diagonale verdwijnpunten ( dvp ) samen met het hoofdpunt ( dvp = dv ) en verdwijnt het andere diagonale verdwijnpunt, omdat de visuele stralen ervan parallel lopen aan het beeldvlak. Hierdoor wordt het contrast tussen de afstand van de kijker en het object geminimaliseerd of in evenwicht gebracht.

Ongeacht de oriëntatie van de verdwijnpunten van het object, definieert de dieptevariatie (veranderingen in schijnbare grootte en texturen) die wordt veroorzaakt door de centrale dieptevariatie van de kijker, en wordt de dieptevariatie nog steeds gebruikt om een ​​eenheidsdimensie in de diepte weg van de kijker te projecteren langs het grondvlak en vlakken parallel daaraan.

Echter, de terugtrekking langs de lijnen die door het object worden gedefinieerd – veranderingen met de afstand in de tussenruimte van objectkenmerken, of in de afstand van een eenheidsdimensie vanaf het object langs het stratenplan of het geometrische raster dat door het object zelf wordt gedefinieerd – creëert nu een apart systeem van terugtrekking in de ruimte. De diepte in dit systeem wordt gecontroleerd door twee meetpunten ( mp ₁ en mp ₂ ) die worden gebruikt om een ​​meetlat of eenheidsdimensie te projecteren in de terugtrekking die door elk verdwijnpunt wordt gecreëerd. 

het roteren van de verdwijnpunten

In 2PP kan de kubus om zijn verticale as naar elke gewenste positie worden gedraaid, zolang de verticale ribben parallel blijven aan het beeldvlak. De zijvlakken van de kubus, en al hun horizontale ribben, zijn niet langer parallel aan het beeldvlak. Het eerste perspectiefconstructieprobleem is het bepalen van de twee verdwijnpunten voor deze ribben.

Samenvattend: bij de visuele straalmethode voor perspectiefconstructie is de straal van de gezichtscirkel gelijk aan de afstand van de kijker tot het beeldvlak. De geometrie van de verdwijnpunten wordt dus bepaald door het gezichtspunt bovenaan de gezichtscirkel te plaatsen. Vanuit deze positie kijken we van bovenaf op de kijkgeometrie. De verticale straal van de 90°-gezichtscirkel geeft de afstand van het gezichtspunt tot het beeldvlak weer; de horizonlijn geeft het beeldvlak weer dat van bovenaf "van opzij" wordt bekeken, en toont dus de locatie op het beeldvlak van alle verdwijnpunten die vanuit het gezichtspunt worden waargenomen; en de middellijn geeft de kijkrichting weer.

In deze opstelling bepalen we de linker en rechter verdwijnpunten door de rotatiehoek tussen het voorvlak van de primaire vorm en het beeldvlak. Deze hoek is gelijk aan de hoek tussen een zijvlak van de primaire vorm en de kijkrichting. De "primaire vorm" is simpelweg het kubusvormige of rechthoekige lichaam dat de meeste perspectivische randen in de tekening definieert. Voor een interieur is dit de plattegrond die de zichtbare vloer en muren definieert. Voor een architectonisch exterieur zijn dit de zichtbare zijden van het grootste gebouw in beeld.

Met het gezichtspunt bovenaan de beeldcirkel bepalen we de rotatiehoek door de plattegrond (vloerplan of bovenaanzicht) van de primaire vorm binnen de bovenste helft van de beeldcirkel te tekenen, waarbij de hoek die het dichtst bij de kijker ligt, op de locatie van het gezichtspunt in het beeldvlak wordt geplaatst. Vervolgens worden de twee verdwijnpunten gevonden door de twee voorzijden van de primaire vorm vanuit het gezichtspunt door te trekken naar het beeldvlak of de horizonlijn (zie onderstaande diagram).

objectgeometrie toegevoegd aan de cirkel van het zicht

primaire vorm in de oriëntatie voor tweepuntsperspectief

Deze rotatiehoek kan exact worden bepaald (met behulp van een gradenboog of architectendriehoeken met hun standaardhoeken van 30°, 45° of 60°), of bij benadering, op het oog of op gevoel. Een handige manier om deze hoek te bepalen aan de hand van een foto of vanuit een fysiek perspectief, is door op de plattegrond van de basisvorm het punt aan te geven waar de voorste hoek de achterkant van de vorm lijkt te doorsnijden, waardoor de achterste rand ontstaat.

Als alternatief kunt u, als u zich op voldoende afstand bevindt, de visuele verhoudingen tussen de twee voorzijden van de vorm inschatten (bijvoorbeeld: de linkerzijde is visueel 3 keer breder dan de rechterzijde), en vervolgens de plattegrond rond het gezichtspunt draaien totdat de afstand tussen de zijhoeken en de middellijn in overeenkomstige verhoudingen zijn.

Als de beeldcirkel erg groot is, kan de rotatie op een kleinere schaal worden berekend. Teken met een passer een beeldcirkel met een straal van 7,5 cm (15 cm breed) en markeer het gaatje van de passer als dv . Trek de verticale middellijn over het gaatje en bepaal het gezichtspunt bovenaan. Teken vervolgens de horizonlijn loodrecht op de middellijn, die aan beide zijden buiten de beeldcirkel uitsteekt. Leg vervolgens een vel papier over deze cirkel met één hoek op het gezichtspunt en draai het vel papier om deze hoek totdat u de gewenste oriëntatie van de twee zijden hebt. Zorg ervoor dat de hoek precies is uitgelijnd met het gezichtspunt en markeer de twee plaatsen waar de randen van het papier de horizonlijn kruisen. Meet de afstand (in centimeters) van deze twee punten tot dv en vermenigvuldig met 20. U hebt nu de afmetingen van de twee verdwijnpunten vanaf dv in een beeldcirkel met een straal van 3 meter (ongeveer 10 voet).

Als alternatief kunt u een gradenboog gebruiken, gecentreerd op het gezichtspunt op de beeldcirkel, om de exacte hoeken van de twee zijden af ​​te tekenen – zorg er wel voor dat de twee hoeken precies 90° van elkaar verschillen. Verleng deze hoeken als lijnen van het gezichtspunt naar de horizonlijn, meet de lengte en vermenigvuldig met 20, zoals eerder beschreven.  

De eenvoudigste (hoewel onconventionele) methode is om de locaties van de verdwijnpunten af ​​te leiden als verhoudingen van de lengte van de cirkel met de straal van het gezichtsveld, ongeacht de grootte van de cirkel. Elke zakrekenmachine kan deze trigonometrische verhoudingen direct berekenen, als de tangens van de hoek van een willekeurige zijde ten opzichte van de kijkrichting. Referentiewaarden voor de oriëntatiepunten zijn hieronder in een tabel weergegeven.

In het voorbeeld van het rotatiediagram (hierboven) maakt het linkervlak van de kubus een hoek van 30° met de kijkrichting, waardoor vp ₁ zich op 0,58 straallengtes links van de horizonlijn bevindt, gemeten vanaf de kijkrichting dv . Het rechtervlak van de kubus moet een hoek van 90°–x° (90°–30°) of 60° maken , wat betekent dat vp ₂ zich op 1,73 straallengtes rechts van de horizonlijn bevindt, gemeten vanaf de kijkrichting.

De tangensafleiding is erg handig omdat deze van toepassing is op elk oppervlak of elke rand onder elke hoek ten opzichte van de kijkrichting — bijvoorbeeld de vijf zijden van het Pentagon in de VS. Het enige wat nodig is, is de hoek van een willekeurige zijde ten opzichte van de kijkrichting; de hoeken van alle andere zijden kunnen worden afgeleid door optellen of aftrekken, en de tangens van deze hoeken bepaalt de verdwijnpunten als fracties van de straal van de kijkcirkel langs de horizonlijn. 

het lokaliseren van de meetpunten

Het volgende probleem is: hoe bepalen we de afstand langs verdwijnlijnen naarmate objecten uit beeld verdwijnen? In centraal perspectief definieert het enkele verdwijnpunt (het hoofdpunt) de terugtrekking in de ruimte langs de orthogonalen (verdwijnlijnen naar het hoofdpunt), en de diagonale verdwijnpunten projecteren meeteenheden van het beeldvlak op de orthogonalen.

In 2PP definieert het hoofdbeeldpunt nog steeds de centrale diepte van de kijker en de perspectivische gradiënten die de kijkrichting creëert op het grondvlak en alle vlakken parallel aan de kijkrichting. Maar de verdwijnpunten van de objecten definiëren hun eigen diepte (verdwijnlijnen) in twee richtingen, en de taak is om meeteenheden langs deze verdwijnlijnen vast te stellen.

We kunnen een diepte-eenheid die is vastgesteld langs de verdwijnlijnen naar het ene verdwijnpunt nog steeds overdragen op de verdwijnlijnen naar het andere verdwijnpunt, door middel van het diagonale verdwijnpunt van het object dat zich binnen de 90°-cirkel van het gezichtsveld bevindt.

We hebben echter een aparte methode nodig om meeteenheden van het beeldvlak over te brengen naar de verdwijnlijnen die door een van de verdwijnpunten worden gedefinieerd. Deze overdracht gebeurt met behulp van meetpunten , zoals voor het eerst uitgelegd door Brook Taylor in zijn New Principles of Linear Perspective (1719).

Geometrie van meetpunten . In de context van de visuele straalmethode voor perspectiefconstructie is het probleem om een ​​afstandsschaal of eenheidsdimensie, gedefinieerd langs de grondlijn, te projecteren in de loodrechte ruimte langs een verdwijnlijn naar een van de verdwijnpunten van het object.

de geometrie van een maatstaaf

De beelddriehoeken Gaa' en GAA' zijn gelijkbenige driehoeken in de fysieke ruimte: de fysieke hoeken bij a , a' , A en A' zijn gelijk en lijnen evenwijdig aan aa' of AA' verdelen de fysieke zijden aG en a'G in lijnstukken van gelijke lengte.

Elke verdwijnlijn eindigt in twee punten: het verdwijnpunt en het snijpunt met het beeldvlak (perspectiefregel 4 ). De verdwijnlijn VG (zie diagram hierboven) moet dus een binnenhoek VGA definiëren op het snijpunt met het beeldvlak. Dit is de beeldvlakhoek ( x ), en het is de top van de gelijkbenige driehoek die we willen construeren.

Om de basis van de driehoek te vinden, construeren we in de fysieke ruimte een boog vanuit G met straal GA' , de afstand langs de verdwijnlijn vanaf het snijpunt met de grondlijn tot de voorste hoek van de primaire vorm of het lijnstuk dat we in de perspectiefruimte willen meten (diagram, rechts). Deze boog snijdt de grondlijn in A. Dan is GA' = GA , de binnenhoeken ( z ) in A en A' zijn gelijk, en de driehoek A'GA is een gelijkzijdige driehoek. Het lijnstuk A'A , verlengd tot de horizonlijn, definieert dan het meetpunt mp1 van _het verdwijnpunt vp1 _.

Het doel van deze constructie is dat alle lijnen parallel aan A'A gelijke lijnstukken definiëren, zowel in de grondlijn als in de verdwijnlijn. Zo definiëren de lijnen aa' en bb' , beide parallel aan AA' , een lijnstuk ab in de grondlijn dat exact even lang is als het lijnstuk a'b' in de fysieke ruimte.

Op equivalente wijze wordt de eenheidsdimensie BA in de grondlijn verschoven naar de fysieke ruimte als de maatbalk B'A' , die afmetingen langs de grondlijn weergeeft zoals die in perspectiefruimte worden gezien op elke gewenste afstand.

Omdat alle parallelle lijnen hetzelfde verdwijnpunt snijden (perspectiefregel 6 ), projecteert elk paar lijnen door mp ₁ een meeteenheid, gedefinieerd in het beeldvlak, in de perspectiefruimte langs de verdwijnlijn VG . We bepalen dus eerst het meetpunt, trekken vervolgens een lijn van mp door het ankerpunt A' , lijnen een meetlat uit met A' en bepalen ten slotte de gewenste afmetingen door de meetlat terug te verbinden met mp . Waar deze meetlijnen de verdwijnlijn kruisen, hebben we de afmetingen in het juiste perspectief langs de verdwijnlijn.

De meetpunten bepalen . Hoe bepalen we de meetpunten? We kunnen geen boog rond G tekenen , omdat deze in het beeldvlak wordt verkort tot een ellips. Teken in plaats daarvan in de opstelling van de visuele straal een boog vanuit elk verdwijnpunt , van het gezichtspunt naar de horizonlijn (beeldvlak), om de meetpunten te vinden, zoals hieronder weergegeven. Dit definieert eenvoudigweg de benodigde gelijkbenige driehoek in het bovenaanzicht van het gebied tussen het gezichtspunt en het beeldvlak.

Tweepuntsperspectief: het lokaliseren van de meetpunten

De boog vanuit vp ₁ snijdt het beeldvlak in B ; de driehoek VAB is een gelijkzijdige driehoek in het grondvlak tussen het gezichtspunt en het beeldvlak (wanneer deze langs de horizonlijn wordt gevouwen tot de 90°-cirkel van het gezichtsveld), en de basis VB is de visuele straal die het beeldvlak snijdt in meetpunt mp _1. De boog vanuit vp ₂ snijdt het beeldvlak in Y ; de driehoek VXY is een gelijkzijdige driehoek en de basis VY is de visuele straal die het beeldvlak snijdt in meetpunt mp ₂ .

Bij het gebruik van een meetlat is nu iets meer voorzichtigheid geboden dan in het centrale perspectief: het is van belang aan welke kant van de figuur de meetlat wordt geplaatst en welk meetpunt je gebruikt, omdat we voor elke zijde van de figuur aparte punten hebben. 

De leidende regel is dat je metingen projecteert op verdwijnlijnen, en dat de verdwijnlijnen zich terugtrekken naar een verdwijnpunt. Je gebruikt dus het meetpunt dat wordt gedefinieerd door een boog vanuit het verdwijnpunt . Dit is het meetpunt tegenover het verdwijnpunt dat de verdwijnlijn bepaalt die je wilt meten.

Tweepuntsperspectief: projectie naar voren of naar achteren vanaf een maatstreep.

Het diagram (hierboven) toont de vier mogelijke combinaties (in 2PP) voor projectie vanaf een meetlat die zich aan weerszijden van het ankerpunt bevindt. In alle gevallen is het juiste meetpunt het punt dat is gedefinieerd door een boog vanuit het verdwijnpunt dat de te meten lijn bepaalt (aangegeven met de zwarte stip). Het gebruikte meetpunt wordt niet bepaald door de positie van de meetlat links of rechts van het ankerpunt. Merk ook op dat een punt zowel naar achteren als naar voren kan worden geprojecteerd vanaf een meetlat; een visuele straal vanuit het dvp bevestigt deze voorwaartse projecties.

Zoals hierboven weergegeven, is het ook altijd nuttig om het diagonale verdwijnpunt (ook wel het hoofdpunt in centraal perspectief genoemd) te identificeren bij het roteren van de verdwijnpunten. Dit punt kan worden gebruikt om eenheidsafmetingen in de diepte te projecteren, bijvoorbeeld om een ​​vlak te betegelen langs de verdwijnlijnen die het doorsnijdt. De locatie van het verdwijnpunt geeft ook een informele maatstaf voor de perspectivische nadruk in het beeld. Perspectief lijkt dramatischer als het verdwijnpunt zich buiten de 60°-cirkel van het gezichtsveld bevindt, en meer classicistisch als het verdwijnpunt zich dicht bij de kijkrichting bevindt.

Als je een gradenboog gebruikt die gecentreerd is op het gezichtspunt, om de rotatie van de verdwijnpunten nauwkeurig te bepalen, dan is de beeldvlakhoek de hoek tussen het verdwijnpunt en een horizontale lijn getrokken door het gezichtspunt (aangeduid met x , hieronder).

visuele straallocatie van een meetpunt

Elke zijde BC van een object waarvan de verdwijnlijn de grondlijn snijdt in A , definieert de beeldvlakhoek x op de grondlijn; dan bevindt het verdwijnpunt zich onder een hoek van 90–x ten opzichte van de kijkrichting en het corresponderende meetpunt onder een hoek van x/2 ten opzichte van de kijkrichting aan de tegenoverliggende zijde.

Het verdwijnpunt van de rand of zijkant van het object ( vp ₁ ) bevindt zich dan 90-x graden ten opzichte van de kijkrichting ( dv ), en het meetpunt bevindt zich x/2 graden ten opzichte van dv , aan de tegenoverliggende zijde. In het voorbeeld is het voorvlak van object BC (weergegeven in bovenaanzicht) 30° gedraaid ten opzichte van het beeldvlak; daarom is x gelijk aan 30°. Dit betekent dat vp _{1 aan één zijde 60° van} dv af gedraaid is , en het meetpunt zich mp ₁ of 15° naar rechts bevindt . Deze relaties gelden ongeacht de oriëntatie van het object ten opzichte van het beeldvlak.

Bovenaanzicht van de geometrie van een meetlat

Hier is bijvoorbeeld de geometrie voor centraal perspectief (diagram, rechts), waarbij de vlakken van een kubus parallel of loodrecht op het beeldvlak staan. Dit betekent dat de hoek van de vlakken ten opzichte van de grondlijn ofwel x = 0° is (er is geen snijpunt en dus geen hoek) ofwel x = 90° (ribben of vlakken staan ​​loodrecht op het beeldvlak).

• Voor vlakken parallel aan het beeldvlak ( x = 0° ), is de hoek van het verdwijnpunt ten opzichte van de kijkrichting 90°–x = 90° (het verdwijnpunt bevindt zich in het beeldvlak, omdat de kijkrichting loodrecht op het beeldvlak staat), en het meetpunt is x/2 = 0° (het meetpunt ligt 0° ten opzichte van de kijkrichting en is daarom het hoofdpunt).

• Voor vlakken loodrecht op het beeldvlak ( x = 90° ), is de hoek van het verdwijnpunt ten opzichte van de kijkrichting 90°–x = 0° (het verdwijnpunt is het hoofdpunt), en het meetpunt is x/2 = 45° (het meetpunt is het diagonaal verdwijnpunt).

Het enige subtiele verschil zit hem in het onderscheid tussen de maatstreep op het beeldvlak en de maatstreep in perspectief. Dit is het verschil tussen een liniaal die we op het papier leggen waarop we tekenen, en de tekening die we maken van de liniaal naast het object in de ruimte. Het is altijd handiger om de liniaal in perspectief te gebruiken, omdat we hem dan kunnen uitlijnen met het object door één uiteinde tegen het ankerpunt te plaatsen. Maar dit betekent dat we de lengte van de liniaal moeten schalen zodat deze overeenkomt met de schaal van het object in de ruimte. Geen probleem: pas gewoon de schaal van de tekening van het object toe op de lengte van de liniaal en gebruik deze geschaalde lengte (gemeten vanaf het beeld van het ankerpunt op het papier) als uw maatstreep.  

een 2PP-kubus construeren

Zodra je de twee verdwijnpunten en twee meetpunten hebt bepaald, kun je in 2PP een kubus of rechthoekig lichaam construeren volgens dezelfde stappen als in 1PP, met dien verstande dat een meetlat nodig is om de twee voorzijden te definiëren.

Tweepuntsperspectief: het ankerpunt lokaliseren

Zoals altijd is de eerste stap het bepalen van het ankerpunt en de bijbehorende ankerlijn. Dit kan de achterhoek van een kamer zijn, de voorhoek van een gebouw of de dichtstbijzijnde boom op een lommerrijk pad. Deze verticale lijn definieert de schaal en het perspectief van de hele tekening. Als je niet zeker weet waar je deze moet plaatsen, werk dan de beeldcompositie uit met een paar perspectiefschetsen .

Verbind de boven- en onderkant van de ankerlijn met elk van de verdwijnpunten (blauwe lijnen). Definieer de maatstaven voor de voorzijden van de primaire vorm met behulp van de schaalverdelingsmethoden van de tekening . De maatstaaf is gelijk aan de verticale ankerlijn als de vorm kubisch is, en anders als deze rechthoekig is. Houd er rekening mee dat er geen perspectiefverkorting van de ankerlijn is, dus u kunt deze als meeteenheid gebruiken door hem in de juiste richting te draaien (zoals weergegeven door de boog hieronder).

Tweepuntsperspectief: gebruik van de maatbalk

geometrie van verdwijn- en meetpunten in centraal perspectief

Plaats nu één uiteinde van de meetlat bij het ankerpunt en trek een lijn van het andere uiteinde van de meetlat naar het corresponderende meetpunt. De meetlat is (zie diagram hierboven) op twee plaatsen weergegeven om de lengtes op de twee sets verdwijnlijnen te definiëren. In beide gevallen loopt de lijn van de meetlat naar het meetpunt dat is gedefinieerd door het bepalende verdwijnpunt.

Tweepuntsperspectief: het tekenen van de verticale zijlijnen.

Teken de twee verticale zijlijnen, vanaf het snijpunt van de meetlijnen met de twee onderste verdwijnlijnen tot aan de verdwijnlijnen erboven. De verdwijnlijnen definiëren de terugspringende lijn aan weerszijden van de ankerlijn; de zijranden van de primaire vorm zijn korter dan de voorrand (ankerlijn).

Tweepuntsperspectief: het tekenen van de vierde verticale lijn.

Trek verdwijningslijnen vanuit de uiteinden van elke zijrand naar het tegenoverliggende verdwijnpunt. Deze nieuwe lijnen snijden elkaar aan de boven- en onderkant van de vierde verticale rand. Bouw deze rand.

Tweepuntsperspectief: de voltooide tekening

Verbind de uiteinden van de verticale lijnen met horizontale lijnen, waarbij alleen de lijnen zichtbaar zijn vanuit het gezichtspunt. (De afbeelding toont een open kubus om meer van de perspectieftekening te laten zien.) Gum na afloop de verdwijnlijnen, de verdwijn- en meetpunten en eventuele andere hulplijnen uit.

Vaak zijn er naast de hoofdvorm nog veel andere vormen in de tekening te zien. Bepaal in dat geval eerst de verticale voor- en zijlijnen. Bepaal vervolgens alle vormen of perspectiefdetails, zoals trottoirs, bomen of straten, die zich voor of aan weerszijden van de hoofdvorm bevinden. Werk deze eerst in omtrek uit en werk daarna de hoofdvorm af. Vul tot slot alle achtergrondvormen of -structuren in die niet worden bedekt door de reeds zichtbare objecten. 

hellende lijnen en hellende vlakken

In de meeste architectonische en landschappelijke toepassingen van perspectief zijn schuine lijnen en vlakken cruciale onderdelen van de primaire vorm. Het is essentieel om de geometrie van schuine verdwijnpunten en verdwijnlijnen te begrijpen en deze in specifieke situaties te kunnen construeren.

Ik gebruik het 2PP-raamwerk omdat dit nog steeds de standaard is voor architectonische doeleinden, maar de onderliggende geometrie is ook van toepassing op 1PP- en 3PP-tekeningen.

Voor ons doel is een schuine lijn elke lijn die niet evenwijdig of loodrecht op het grondvlak staat . Het verdwijnpunt van de lijn zal zich daarom niet op de horizonlijn bevinden, maar een stukje erboven of eronder.

Dit verdwijnpunt zal zich in een vlak bevinden, en dit vlak zal een verdwijnlijn hebben. Er is geen unieke verdwijnlijn voor een enkele hellende lijn, omdat een lijn in een oneindig aantal vlakken kan liggen (die allemaal om de lijn als as gedraaid zijn). Twee of meer hellende lijnen die naar hetzelfde verdwijnpunt toelopen, definiëren echter wel een uniek vlak dat ze beide bevat, en dit vlak heeft een unieke verdwijnlijn.

Elke schuine lijn definieert een bovenaanzicht in het grondvlak. Het vlak dat zowel de schuine lijn als het bovenaanzicht ervan bevat, staat loodrecht op het grondvlak, en de beeldlijn ervan staat loodrecht op de horizonlijn (perspectiefregel 16 ). Bovendien loopt de bovenaanzichtlijn terug naar een reeds vastgesteld verdwijnpunt voor horizontalen ( vp ₁ of vp ₁ ), en dit verdwijnpunt ligt ook op de verdwijnlijn van het vlak dat de schuine lijn en het bovenaanzicht ervan bevat (perspectiefregel 14 ). Daarom kan de verdwijnlijn van het vlak dat het schuine verdwijnpunt ( ivp ) bevat, worden geconstrueerd als de verticale lijn door een horizontaal verdwijnpunt (zie onderstaande diagram).

Dit verticale vlak is handig omdat het elke verticale structuur vertegenwoordigt die de schuine lijn bevat of definieert — de rand van een dak of fronton, de zijwand van een trap, de berm of muur van een verkeersoprit, een schuine architraaf boven een verticaal raam, de helling van een heuvel, enzovoort. 

Verdwijnpunt door constructie . De traditionele methoden voor het bepalen van het verdwijnpunt van een hellende lijn construeren in de eerste stap het beeld van de hellende lijn, waarna de beeldlijn wordt verlengd tot de verdwijnlijn van het vlak. De methoden verschillen alleen in de manier waarop de beeldlijn wordt geconstrueerd.

Tweepuntsperspectief: geprojecteerde verdwijnpunten voor schuine lijnen

Het bovenstaande voorbeeld illustreert drie verschillende methoden:

• Het bovenste eindpunt van de hellende lijn ( y ), als het de top van een zadeldak is, bevindt zich gewoonlijk op de middenlijn van de onderliggende muur; de middenlijn loopt door het bisectiepunt van de muurdiagonalen ( x ). Vervolgens wordt de verticale afstand ca geprojecteerd op het horizontale verdwijnpunt vp ₁ vanuit een verticale meetlat om c te bepalen ; y is het snijpunt van de verticale middenlijn met de verdwijnlijn vanuit c . Vervolgens wordt ay verlengd tot de verticale verdwijnlijn (door vp ₁ ) om het hellende verdwijnpunt ivp ₁ te vinden .

• Als het bovenste eindpunt ( y ) van de hellende lijn niet op de middenlijn van de muur of verticale steun ligt (zoals bijvoorbeeld de zijkant van een trap), is het handiger om de horizontale (plan) locatie van het bovenste eindpunt ( e ) met een horizontale meetlat te projecteren naar het juiste meetpunt, samen met een tweede horizontaal punt ( d , weergegeven in de aanzichttekening) dat het snijpunt van de diagonaal fy met de horizontale lijn ab aangeeft . Zodra deze punten op ab zijn bepaald , wordt y gevonden op het snijpunt van de verticale lijn ex en de diagonaal df , en wordt de lijn ay geconstrueerd en verlengd zoals hierboven beschreven.

• Als de hellende lijn verlengd is of geen specifieke eindpunten heeft, kan de hellingshoek (als horizontale/verticale verhouding of als hoek in graden) als volgt worden bepaald. Teken een doorsnede van de helling als een rechthoekige driehoek, waarvan de hoogte gelijk is aan de beeldhoogte van het onderste uiteinde van de hellende lijn boven een ankerpunt in het grondvlak (bijvoorbeeld de afstand af ) . Lijn dit vlak uit langs de verticale lijn af en projecteer de horizontale breedte ervan naar voren vanaf het juiste meetpunt, zodat deze de verdwijnlijn van het vlak snijdt vanuit het verdwijnpunt g . Dan is de lijn ga de verdwijnlijn voor de hellende lijn ay , en deze snijdt ook het verdwijnpunt ivp _1. De verticale lijn die y definieert , moet nog steeds worden gedefinieerd met behulp van diagonale middeling of een horizontale of verticale meetlat, zoals eerder.

In veel gevallen, vooral bij dakconstructies, moet wat omhoog gaat ook weer naar beneden komen. Het verdwijnpunt ivp ₂ voor de schuine lijn aan de andere kant van het dak ligt even ver onder de horizonlijn als ivp ₁ erboven ligt; dit kan worden gevonden door een boog te trekken van vp ₁ door ivp ₁ naar de verdwijnlijn aan de overkant. Of het kan worden bepaald door de lijn yb te verlengen tot de verticale verdwijnlijn. 

Schuine lijnen evenwijdig aan het beeldvlak . Het kan voorkomen dat de schuine lijnen evenwijdig zijn aan het beeldvlak — bijvoorbeeld de voorgevels van rijtjeshuizen gezien vanaf de straat.

In centraal perspectief blijft het beeld van de voorkant van een kubus vierkant, ongeacht de positie op het beeldvlak; een schuine lijn die binnen het vierkant wordt getrokken (bijvoorbeeld de diagonaal) heeft daarom ook een constante hoek op het beeldvlak. Er is dus geen perspectiefcorrectie nodig voor schuine lijnen parallel aan het beeldvlak in centraal perspectief.

Tweepuntsperspectief: schuine lijnen evenwijdig aan het beeldvlak.

In 2PP is een schuine lijn evenwijdig aan het beeldvlak in wezen een schuine diagonaal binnen een rechthoekig lichaam dat schuin staat ten opzichte van het beeldvlak; dit lichaam wordt geconstrueerd met behulp van de normale 2PP-verdwijnpunten, waarna de schuine lijn binnen de omhullende ervan wordt getekend (zie diagram hierboven).

Het is dan ook geen verrassing dat, ondanks de veranderende kijkhoek op het rechthoekige frame en de veranderende vorm van de omtrek ervan in 2PP-projectie, de binnendiagonaal constant blijft. We hebben deze gedefinieerd als parallel aan het beeldvlak, en de verkorting van een tweedimensionale figuur parallel aan het beeldvlak verandert de grootte of vorm van het perspectiefbeeld niet. 

Verdwijnpunt door rotatie . De alternatieve, analytische methode begint met het identificeren van het schuine verdwijnpunt en construeert alle lijnen vanuit dat punt. Dit wordt gedaan door een hulpgezichtspunt te creëren , een methode die op de volgende pagina in detail wordt uitgelegd .

Tweepuntsperspectief: exacte verdwijnpunten voor schuine lijnen

De rotatie wordt in de volgende stappen uitgevoerd:

1. Identificeer de verdwijnlijn van het vlak dat de schuine lijn(en) bevat. We hebben al vastgesteld dat dit de verticale verdwijnlijn is die door vp ₁ , het horizontale verdwijnpunt, loopt.

2. Trek een lijn evenwijdig aan deze verdwijnlijn, door het hoofdpunt. Deze lijn bestaat al, als middellijn.

3. Bepaal het snijpunt van deze lijn met de 90°-cirkel (punt x ).

4. Teken vanuit vp ₁ een boog door x , de verticale verdwijnlijn, en de horizonlijn buiten de 90°-cirkel van het gezichtsveld. Het snijpunt van deze boog met de horizonlijn markeert een nieuw punt A , het hulpgezichtspunt .

5. Draai de visuele stralen die de helling van de gewenste schuine lijnen definiëren rond punt A. In het voorbeeld wordt een helling van 45° weergegeven. Het snijpunt van deze gedraaide visuele stralen met de verticale verdwijnlijn definieert de twee schuine verdwijnpunten, ivp ₁ en ivp ₂ .

Verdwijnlijnen vanuit deze verdwijnpunten door de verticale eindpunten b en c snijden elkaar in a , de top van het dak; de verticale lijn van de top hoeft niet te worden bepaald.

Deze verdwijnpunten bepalen alle parallelle hellende lijnen. De randen van het dak aan de tegenoverliggende kant van de constructie wijken dus terug naar de overeenkomstige verdwijnpunten van de voorste randen: no naar hetzelfde verdwijnpunt als ab , en np naar hetzelfde verdwijnpunt als ac . Met andere woorden, driehoek nop is parallel aan driehoek abc , en alle parallelle vlakken convergeren naar dezelfde verdwijnlijn (perspectiefregel 14 ). 

Verdwijnlijn voor een hellend vlak . Twee parallelle of snijdende lijnen zijn nodig om het oppervlak van een vlak te definiëren (perspectiefregel 10 ). In de meeste architectonische problemen is de tweede lijn een horizontaal of verticaal element dat de hellende lijn verbindt. In het voorbeeld (diagram hieronder) wordt de tweede lijn gevormd door de horizontale lijnen an en bo in het trapezium abno , die de parallelle hellende lijnen ab en no snijden .

Tweepuntsperspectief: verdwijnlijn voor een hellend vlak

Deze horizontale lijnen worden bepaald door het verdwijnpunt vp _2. Omdat de verdwijnlijn van een vlak de verdwijnpunten van alle lijnen in het vlak bevat (perspectiefregel 14 ), is de verdwijnlijn van vlak abno noodzakelijkerwijs de lijn die ivp ₁ en vp ₂ bevat ; deze twee punten definiëren de verdwijnlijn (perspectiefregel 3 ). Op dezelfde manier is de verdwijnlijn van vlak acnp de lijn die ivp ₂ en vp ₂ bevat .

Het verdwijnpunt vp ₂ is uiteraard het verdwijnpunt voor alle lijnen in het vlak abno die horizontaal zijn (parallel aan het grondvlak).

Tweepuntsperspectief: verdwijnlijn voor een hellend vlak

Lijnen naar vp ₂ zijn hellingslijnen die alle punten in het vlak aangeven die zich op gelijke hoogte boven of onder het grondvlak bevinden. Lijnen naar ivp ₁ zijn vallijnen die loodrecht staan ​​op de hellingslijnen en de lijnen van de steilste afdaling of de richting van de zwaartekracht in het vlak weergeven — de richting waarin water zou stromen of ronde voorwerpen van een perfect glad, vlak oppervlak zouden rollen.

Alle 2PP-lijnen die loodrecht staan ​​op een hellend vlak, staan ​​loodrecht op de verdwijnlijn van dat vlak, net zoals 1PP- of 2PP-verticalen (lijnen loodrecht op het grondvlak) loodrecht staan ​​op de horizonlijn.

Ten slotte is de verdwijnlijn van een vlak, ongeacht de oriëntatie ten opzichte van de kijker, altijd een rechte lijn (perspectiefregel 9 ), en geen kromme zoals de theoretici van het kromlijnige perspectief beweren .

Let op de overeenkomsten en verschillen tussen de locatie van de verdwijnlijnen voor vlakken die schuin, hellend of gekanteld zijn:

• De verdwijnlijnen voor schuine vlakken gaan door het hoofdpunt, maar zijn niet parallel aan de horizonlijn; ze komen overeen met de rolhoek in de vliegtuigterminologie en worden gedraaid door de horizon- en middellijn, met hun diagonale verdwijnpunten, rond het hoofdpunt te draaien.

• De verdwijnlijnen voor hellende vlakken zijn evenwijdig aan de horizonlijn, maar gaan niet door het hoofdpunt; ze komen overeen met de hellingshoek in de vliegtuigterminologie en worden bepaald door een visuele straal te roteren vanuit de linker of rechter diagonale verdwijnpunten.

• De hier besproken hellende vlakken kunnen een combinatie zijn van rol-, stamp- en gierbewegingen of een links/rechts-draaiing. Deze vlakken worden eerst gevonden door de 2PP-verdwijnpunten te bepalen; het ene verdwijnpunt is het horizontale verdwijnpunt voor de helling van het vlak, en het andere is het verdwijnpunt voor de verticale verdwijnlijn die het verdwijnpunt van de vallijn (de hellende lijn) in het vlak bevat.

Het doel is om de verschillen tussen de diverse weergaven van schuine vlakken te begrijpen en hoe je deze in een perspectieftekening kunt construeren. 

afstandspuntprojectie

Het gebruik van de 90°-cirkel van het gezichtsveld om verdwijnpunten te roteren en meetpunten te lokaliseren, hetzij door constructie of door gebruik te maken van trigonometrische verhoudingen, is de meest nauwkeurige methode om een ​​2PP-perspectiefruimte te creëren. Deze methode vereist echter een groot werkgebied en kan omslachtig zijn wanneer objecten met een unieke oriëntatie ten opzichte van het beeldvlak afzonderlijke verdwijnpuntsystemen vereisen.

Gelukkig maakt de afstandsprojectiemethode , ontwikkeld in de 16e eeuw, het mogelijk om elk 2PP-object in elke oriëntatie te construeren met behulp van alleen het hoofdpunt ( pp ), een diagonaal verdwijnpunt ( dvp ) en een aanzicht en plattegrond van het object. Het afgebeelde object zelf wordt vervolgens gebruikt om de verdwijnpunten en meetpunten te vinden, en deze kunnen worden gebruikt om bijkomende objecten in dezelfde diepte te construeren.

Als voorbeeld gebruik ik een vijfhoek (plattegrond in zwart, rechts), die vijf verdwijnpunten nodig heeft voor de vijf hoeken. Merk op dat dit een onregelmatige vijfhoek is (de zijden zijn niet even lang).

Het plan wordt geprojecteerd op twee maatbalken, P (magenta) en D (groen), die loodrecht op elkaar staan. Elke balk geeft alle hoeken in het bovenaanzicht aan die nodig zijn om de vorm te definiëren. De P- balk vertegenwoordigt de hoeken van de vijfhoek langs een perspectivische transversaal (loodrecht op de kijkrichting) en de D- balk vertegenwoordigt de hoeken langs een perspectivische orthogonaal (parallel aan de kijkrichting); de verticale stippellijnen naar P zijn parallelle lijnen die samenkomen in het hoofdpunt (de kijkrichting). De oriëntatie van de vijfhoek (of een andere figuur) ten opzichte van deze lijnen bepaalt de oriëntatie van de figuur in het grondvlak. Het deel van de figuur dat zich het dichtst bij de kijker bevindt, wordt onderaan het plan geplaatst; dit is de hoek gemarkeerd met x .

Verdeelde afstandsschaling . De eerste stappen zijn het bepalen van de afstand van het object tot de kijker en de grootte van het object in dezelfde meeteenheden (we gebruiken meters).

Als je een realistische scène tekent, moet je de werkelijke afmetingen en afstand van het object bepalen; als je een denkbeeldige scène componeert, is de keuze willekeurig. Laten we aannemen dat deze (denkbeeldige) vijfhoek 3 meter breed is (de lengte van P is 3 meter) en dat de voorste hoek ( x ) zich op een afstand van 11,5 meter van de kijker bevindt.

We kunnen de locatie van het ankerpunt vinden met behulp van de methoden die beschreven staan ​​onder het schalen van de tekening , maar laat ik u de traditionele aanpak laten zien. Deze is gebaseerd op het principe van de gedeelde afstand:

Gegeven een willekeurige afstand gemeten vanaf de middellijn tot een punt d op de grondlijn, dan snijdt een lijn van dit punt naar het diagonaal verdwijnpunt dvd aan de overkant van de middellijn de middellijn in een punt d' , dat de afstand d tot de grondlijn in de perspectiefruimte is.

Dit principe is wederom gebaseerd op de driehoeksverhoudingen . De eenheidsafstand kan elke willekeurige lengte zijn; in het diagram (hieronder) wordt de kijkafstand tot het beeldvlak (de straal van de 90°-cirkel) als eenheidsafstand gebruikt om het diagram compact te houden. Vervolgens projecteert de diagonale verdwijnlijn deze afstand in de perspectivische ruimte als het punt d' op de middellijn.

In het diagram is de diagonale verdwijnlijn naar d de blauwe lijn die verbonden is met de tegenoverliggende dvp . Deze dvl snijdt de middellijn in d' , wat de beeldlocatie is van de eenheidsafstand (de kijkafstand, 1,5 meter) geprojecteerd in perspectivische diepte — gemeten vanaf de grondlijn, niet vanaf het gezichtspunt of het stationpunt.

methode van het projecteren van een eenheidsdimensie met behulp van de gedeelde afstandsmethode

Het bijkomende voordeel is echter dat als we de willekeurige eenheidsafstand delen door een willekeurige verhouding (een half, een kwart, enz.) en vervolgens een lijn trekken vanuit dit evenredige punt door d' , deze lijn de horizonlijn snijdt onder dezelfde verhouding, zoals weergegeven door de magenta lijn vanuit de 1/4 eenheid. Op deze manier kunnen zowel de eenheidsafmeting als de horizonlijn in dezelfde evenredige eenheden worden verdeeld.

Wat gebeurt er als we het einde van de eenheidsdimensie verbinden met een van de segmenten op de horizonlijn, bijvoorbeeld van d naar het punt op 1/4 van de horizon (zwarte lijn)? In dat geval hebben we de eenheidsafstand in de perspectiefruimte geprojecteerd door het omgekeerde van de verhouding op de horizonlijn. Gezien onze eenheidsdimensie van 1,5 meter en het omgekeerde van 1/4 gelijk is aan 4, snijdt de lijn van d naar 1/4 de middellijn op een perspectiefafstand van (4*1,5) = 6 meter vanaf de grondlijn in de beeldruimte.

We zouden hetzelfde snijpunt met het orthogonale hoofdpunt en dezelfde proportionele verdelingen op de horizonlijn vinden als we de eenheidsmaat langs de grondlijn zouden verlengen tot 6 meter en vervolgens een lijn zouden trekken van het uiteinde naar het tegenoverliggende dvp (groene lijn). Maar dat doen we niet, omdat het hele punt van schaalvergroting met verdeelde afstanden is om ons te beperken tot een werkbaar tekengebied: we kunnen afstanden verder in de perspectiefruimte projecteren dan we als eenheidsmaten langs de grondlijn kunnen tekenen.

We zouden de verdelingen ook in de horizonlijn vinden als we ze zouden projecteren vanuit een veel kleinere eenheidsmaat, bijvoorbeeld één centimeter. Maar dat doen we ook niet, omdat het de constructie uiteraard moeilijker en onnauwkeuriger maakt; het is raadzaam om de langst mogelijke afmeting van de grondlijn te gebruiken.

Het projecteren van afstanden in perspectiefruimte kan sneller (zij het minder elegant) worden gedaan door berekening, namelijk door de reciproque waarde van de afstand te vermenigvuldigen met de straal van de 90°-cirkel van het gezichtsveld – de afstand gemeten van het hoofdpunt tot de grondlijn – zoals uitgelegd in het hoofdstuk over perspectiefgradiënten . Als je bijvoorbeeld een kijkafstand van 1,5 meter aanneemt en je een transversaal in de beeldruimte wilt plaatsen die 37 meter van het gezichtspunt verwijderd is, trek je eerst de kijkafstand af van de objectafstand en neem je de reciproque waarde van wat overblijft: 37 - 1,5 = 35,5 en 1/35,5 = 0,028; ten slotte vermenigvuldig je dit getal met de lengte van de middellijn en meet je die afstand vanaf het hoofdpunt. Als je tekent met een gezichtsveldcirkel met een straal van 30 cm, dan is dit 30 * 0,028 = 8,4 mm onder de horizonlijn.

In het oorspronkelijke probleem, met een objectafstand van 11,5 meter, trekken we eerst de kijkafstand af (11,5 - 1,5 = 10), vervolgens nemen we de verhouding van deze afstand tot de straal van onze gezichtscirkel (1,5/10 = 0,15), en dan meten we vanaf het hoofdpunt een afstand naar beneden die gelijk is aan 15% van de lengte van de middellijn.

Afstandspuntprojectie . Nadat we de transversaal in de beeldruimte van een ankerpunt op 11,5 meter van het gezichtspunt hebben vastgesteld, kunnen we het vijfhoekige vlak op het beeldvlak projecteren.

Eerst schalen we het plan opnieuw met behulp van formule 2. De objectgrootte Z (de objectbreedte, P ) is 3 meter, de objectafstand ( X ) is 11,5 meter en de kijkafstand ( x ) is 1,5 meter, dus de beeldgrootte (de breedte van het object in het beeld) is 3*(1,5/11,5) = 0,391 meter (39,1 cm), oftewel ongeveer 26% van de straal van de 90°-cirkel van het gezichtsveld.

Vervolgens plaatsen we de voorste hoek x als ankerpunt op de afstandstransversaal. Merk op dat de positie van de figuur links of rechts van de middellijn geen invloed heeft op de lengte van de zojuist berekende beeldafmeting van 39 cm, vanwege de verschuivingsverkorting . We moeten het vlak echter wel omkeren , zodat x bovenaan staat, anders verschijnt de figuur in perspectief als het spiegelbeeld van het vlak.

Vervolgens willen we de hoekpunten van de plattegrond in perspectiefruimte lokaliseren. Dit doen we door gebruik te maken van het afstandspuntprincipe :

Elk punt in een plattegrond bevindt zich in de perspectiefruimte langs de orthogonale ankerlijn, op een perspectiefafstand van de ankerlijn die gelijk is aan de afstand van de ankerlijn tot de plattegrond.

Dat wil zeggen, we construeren eerst orthogonale lijnen voor alle punten, meten vervolgens de afstand van elk punt tot de ankerlijn in het horizontale vlak, en projecteren deze afstand vervolgens in perspectivische diepte met behulp van een diagonale verdwijnlijn.

Het plan projecteren: orthogonale lijnen van het plan

weergegeven binnen de 60°-kijkcirkel; let op: de plattegrond moet worden gespiegeld (van boven naar beneden) om het juiste beeld te projecteren.

De eerste stap in de afstandspuntmethode is het verplaatsen van alle belangrijke objectpunten van P naar de ankerlijn met loodrechte lijnen. Bedenk dat dit lijnen zijn die evenwijdig lopen aan de kijkrichting. Zodra punt a het (nieuwe) punt x definieert en b punt y op de ankerlijn, construeren we de orthogonale lijnen in het vlak vanuit deze punten terug naar het hoofdpunt, zoals hierboven weergegeven (blauwe lijnen).

Het plan projecteren: diagonale verdwijnlijnen in het plan

weergegeven binnen de 60°-kijkcirkel

De volgende stap is om voor elk punt de planafstand vanaf de ankerlijn (groene lijn, D ) terug te berekenen naar de ankerlijn met behulp van een boog die gecentreerd is op het snijpunt met de ankerlijn (roze lijnen, hierboven). Dit is de methode van rabattement of planrotatie die voor het eerst werd beschreven in de 17e eeuw.

De afstand ax wordt dus overgebracht naar de ankerlijn door een boog met middelpunt x , die het punt a' op de ankerlijn definieert; op dezelfde manier wordt de afstand by overgebracht naar de ankerlijn door een boog met middelpunt y , die het punt b' definieert ; en zo verder voor alle andere punten. De enige beperking hier is dat alle bogen naar dezelfde kant moeten worden verplaatst, ofwel naar links of naar rechts: in het diagram zijn ze allemaal naar links gedraaid.

Ten slotte projecteren we al deze afstanden in de perspectiefruimte, met behulp van verdwijnlijnen die getrokken worden vanuit deze nieuwe ankerpunten naar het diagonale verdwijnpunt aan de tegenoverliggende zijde van de bogen. In het diagram worden de bogen naar links verplaatst, dus wordt het diagonale verdwijnpunt aan de rechterkant gebruikt om ze op de orthogonalen te projecteren.

Elke kruising tussen een orthogonale lijn en de bijbehorende diagonale verdwijnlijn bepaalt de positie van het punt in het perspectief. Zo bepaalt de kruising van de orthogonale lijn y en de diagonale verdwijnlijn b' de positie van punt b in het perspectief.

Het enige wat nog resteert, is het verbinden van de punten in het beeldvlak. Dit levert het perspectiefbeeld van de vijfhoekige plattegrond op een afstand van 11,5 meter op – en dat alles zonder extra verdwijnpunten te construeren of een werkoppervlak te gebruiken dat groter is dan de straal van de 90°-cirkel. 

het grondlijnraamwerk

Het is nuttig om de bespreking van 2PP af te sluiten met een korte blik op de perspectiefopstelling, gestandaardiseerd in de 19e eeuw, die het meest wordt onderwezen in perspectieflessen: het grondlijnraamwerk . Voor een uitgebreidere inleiding en gedetailleerde instructies, zie de referenties van Robert W. Gill of Michael E. Helms.

Het grondlijnkader wordt economisch gedefinieerd door het hoofdpunt, het stationpunt (afstandspunt) en drie horizontale lijnen (zie onderstaand diagram).

het grondlijnraamwerk

Het nut van dit raamwerk is dat de belangrijke eigenschappen van de afbeelding direct kunnen worden aangepast door de relatieve positie van deze twee elementen:

• De positie van de grondlijn bepaalt het niveau, naast de primaire vorm, waarop de kijker staat; het definieert tevens het beeldvlak waarop alle objectafmetingen worden gemeten.

• De horizonlijn definieert de kijkhoogte als een verhouding tot de hoogte van de primaire vorm; hij definieert ook de kijkhoek ten opzichte van de ware horizon.

bovenaanzicht van een vijfhoek

Plattegrondtekeningen beginnen meestal met een blauwdruk of een set plattegronden voor de basisvorm (diagram, rechts). De plattegrond is cruciaal voor het bepalen van de schaal van de breedte en diepte van de perspectieftekening. De geveltekeningen zijn essentieel voor de details van de buitenkant en de contrasterende oppervlaktekenmerken van de voor- en zijgevels.

het afleiden van metingen met de grondlijnmethode

De eerste stap is het projecteren van verdwijnpunten en primaire vormafmetingen op de horizontale en verticale meetlijnen (diagram hierboven).

Het meetpunt wordt bepaald ten opzichte van een plattegrond van de primaire vorm, waarbij de schaal van de plattegrond wordt gebruikt om de objectafstand te bepalen. Als de schaal van de plattegrond bijvoorbeeld 1/4" = 1' is en de vorm vanaf 50 voet wordt bekeken, dan bevindt het meetpunt zich op 12,5" van de dichtstbijzijnde rand van de plattegrond.

De afstand en oriëntatie van een object worden doorgaans bepaald door een grote gelijkbenige driehoek te tekenen met een interne tophoek gelijk aan de gewenste kijkcirkel; het object wordt vervolgens naar de top van deze driehoek bewogen totdat het beide zijden raakt, terwijl het object wordt gedraaid zodat de oriëntatie in het bovenaanzicht de gewenste kijkrichting aangeeft.

De horizontale meetlijn wordt loodrecht op de zichtlijn (het middelpunt van de gezichtsveldkegel) getrokken, meestal zodanig dat de meetlijn door een prominent element op de voorgrond van de plattegrond loopt. Divergerende zichtlijnen worden vanuit het meetpunt door de belangrijkste elementen van de plattegrond getrokken en de snijpunten met de horizontale meetlijn worden gemarkeerd en gelabeld, samen met de locatie van de horizontale verdwijnpunten van het 2PP-systeem en de zichtlijn (het "zichtpunt").

De corresponderende verticale meetlijn wordt geprojecteerd door parallelle lijnen vanuit de hoogtes van de primaire vorm, inclusief het snijpunt met de grondlijn.

het afleiden van metingen met de grondlijnmethode

Vervolgens worden de horizonlijn en de grondlijn in het beeldgebied bepaald om de gewenste beeldcompositie te creëren, met name de hoogte van het gezichtspunt ten opzichte van de primaire vorm, de afstand tot de kijker en de kijkhoek ten opzichte van het grondvlak (zie diagram hierboven).

De horizontale meetlijn bevindt zich onder het beeldgebied, parallel aan de horizon en de grondlijn, waarbij het kijkpunt verticaal is uitgelijnd met het midden van het beeldgebied. Verticale lijnen worden gebruikt om de horizontale plan- en verdwijnpuntmetingen op de grondlijn te projecteren.

De verticale meetlijn bevindt zich op de grondlijn. De meetpunten zijn niet geprojecteerd vanaf het stationpunt, maar moeten daarom worden geprojecteerd vanaf de horizontale verdwijnpunten voor of achter de grondlijn. Deze geprojecteerde metingen worden vervolgens via horizontale lijnen in het beeld van de primaire vorm overgebracht. Merk op dat de verticale meetlijn, indien gewenst, vrij langs de grondlijn kan worden verschoven; de horizontale meetlijn, die is geschaald naar een specifieke locatie van het stationpunt ten opzichte van de primaire vorm, moet exact worden uitgelijnd met het kijkpunt en kan niet worden verplaatst.

Er bestaan ​​veel interessante schaal- en projectiemethoden met de grondlijnmethode die ik in dit korte overzicht niet bespreek. Ter afsluiting noem ik vier belangrijke tekortkomingen van de grondlijnmethode:

•  Procedurele geometrie : Het grondlijnraamwerk is in principe een steiger die speciaal is gebouwd om specifieke procedures voor de constructie van een afbeelding te implementeren; het heeft een zwakke connectie met perceptuele geometrie. Het is met name moeilijker om de constructieprincipes voor een nieuwe geometrie af te leiden, omdat belangrijke basisconcepten (zoals meetpunten of rotatie rond een verdwijnpunt ) doorgaans worden weggelaten. De betere grondlijnhandleidingen bespreken wat te doen als je ontdekt dat het perspectief niet optimaal georiënteerd is of onjuist geschaald is nadat met de tekening is begonnen; dit soort problemen vloeit voort uit het nauw gefocuste, stapsgewijze karakter van de grondlijnmethode.

•  Foutieve, inflexibele schaalmethode : De grondlijnmethode voor het schalen van een afbeelding, waarbij de plattegrond op schaal moet worden georiënteerd en vervolgens met divergerende lijnen op een horizontale meetlijn moet worden geprojecteerd, is alleen bruikbaar voor grote objecten die vanuit een relatief dichtbij gezichtspunt worden bekeken; anders wordt de methode onnauwkeurig. Het vereist ook een grotere precisie, omdat tekenfouten worden vergroot door de uitdijende lijnen. Als wordt besloten om de kijkhoek op de primaire vorm te veranderen, moet de hele schaalbewerking worden herhaald. In het kader van de 90°-cirkel van gezichtsveld comprimeert schalen naar meetpunten meetfouten, en een nieuwe rotatie van de verdwijnpunten maakt het mogelijk om dezelfde meetlat vanuit verschillende perspectieven te gebruiken.

•  Complexe lijnconstructie : Alle demonstraties met grondlijnen die ik heb gezien, vereisen een groot aantal hulplijnen – minimaal de projectie op de meetlijnen, de projectie van de metingen over het beeldgebied en het verbinden van verdwijnlijnen.

•  Aangepast aan tekenprogramma's : Het grondlijnraamwerk is op verschillende manieren aangepast aan technische tekenprogramma's en is zeer efficiënt in combinatie met deze programma's. Dit betekent echter dat het raamwerk minder effectief is als algemeen, op kunstenaars gericht perspectiefmodel.

Om deze redenen, en met name wanneer lineaire perspectief wordt onderwezen aan fotografen en schilders, geef ik sterk de voorkeur aan de methode met een gezichtsveld van 90°. 

Wie heeft er een tafel van 3,6 meter?

Helaas komt het vrij vaak voor dat men begint met de basisvorm in een oriëntatie waarbij de twee verticale vlakken onhandig ver uit elkaar liggen. In het vorige voorbeeld van de kubusconstructie, uitgaande van een cirkelvormig gezichtsveld van 3 meter, is de kubus zo georiënteerd dat de twee verticale vlakken ongeveer 3,3 meter uit elkaar liggen — het ene 98 centimeter links van het verticale vlak en het andere 2,3 meter rechts. Dit is niet erg handig voor een tekentafel.

Als je een tafel van 3,6 meter, punaises en veel touw hebt (of speciale tekenapparatuur waarmee je verdwijnpunten binnen een klein werkgebied kunt schalen), kun je zonder problemen de geometrie van een kubus van elke gewenste grootte uitwerken. Mocht je geen tafel hebben, dan kun je de ondersteuning op een groot, kaal oppervlak leggen, bijvoorbeeld een schone keukenvloer of een betonnen terras, en daar werken – gebruik dan tape in plaats van punaises om het touw vast te houden.

Als die alternatieven je niet aanspreken, kun je de tekening schalen . De basisgeometrie van de gezichtspunten werkt precies hetzelfde, ongeacht hoe groot of klein de beeldcirkel is. Neem dus een groot vel papier, teken de beeldcirkel van 90° op een handig klein formaat (20 cm is prima), werk de gezichtspunten en de perspectieftekening in dat formaat uit, maak een zorgvuldige schets in perspectief en breng de tekening vervolgens over op de schildersdrager, waarbij je deze vergroot tijdens het overbrengen. Je kunt de vergroting controleren door de tekening uit te lijnen of door een projectiescherm te gebruiken , zo ingesteld dat de grootte van het beeld overeenkomt met de lengte en de positie van een referentielijn (voorste verticale rand) die op de juiste plaats op de drager is gemarkeerd.

Als een of beide verdwijnpunten zich ver van het tekenoppervlak bevinden, is het mogelijk om de relatieve groottes van randen en hoeken in een tekening te berekenen zonder de verdwijnpunten met een touw of liniaal vast te zetten: je hoeft alleen maar een paar belangrijke metingen met een rekenmachine uit te voeren en je moet de exacte afstand van de twee verdwijnpunten tot het hoofdpunt ( dv ) weten. Deze afstand wordt gevonden door zorgvuldig rond het gezichtspunt te draaien of door de straal van de 90°-cirkel te vermenigvuldigen met de tangens van de hoek van het verdwijnpunt tot de kijkrichting.

methode voor het schalen van nieuwe lijnen zonder verdwijnpunten

Het diagram toont alle punten die nodig zijn voor deze berekeningen. De procedure is eenvoudig als je hem eenmaal begrijpt: neem de instructies langzaam en zorgvuldig door, en je zou geen problemen moeten ondervinden. (Let op: gebruik een meetlat of een technische liniaal voor deze taken .)

Er zijn twee situaties: de ankerlijn bevindt zich volledig boven (of onder) de horizonlijn, of hij loopt over de horizonlijn heen.

Begin met de lijn die over de horizon heen loopt (rechterkant van het diagram). De belangrijkste afmetingen die u van tevoren moet weten zijn: (1) de lengte van _{dv (} de kijkrichting) tot c (het verdwijnpunt), (2) de _lengte van de ankerlijn boven ( A1 tot A2 ) en onder ( A2 tot A3 ) de horizonlijn, en ( ₃ ) de afstand van de kijkrichting tot de ankerlijn ( d tot a ).

Ook hier bieden de driehoeksverhoudingen het referentiekader. Eerst bepaal je de afstand ac van de ankerlijn tot het verdwijnpunt door de afstand dv-a af te trekken van de afstand dv-c . (Als de ankerlijn zich aan de tegenoverliggende kant van dv bevindt ten opzichte van het verdwijnpunt, tel je de twee afstanden bij elkaar op om ac te krijgen _{. )} Nu wil je een nieuwe lijn N1 tot N3 invoegen die dezelfde hoogte en diepte heeft als de ankerlijn.

Bepaal eerst hoe ver naar links of rechts van de ankerlijn de nieuwe lijn moet worden geplaatst: dit definieert ab , wat bc oplevert wanneer het van ac wordt afgetrokken . De verhouding bc/ac geeft vervolgens de lengte van de nieuwe lijn N ₂ - N ₃ ten opzichte van de lengte van lijn A ₂ - A ₃ , en de lengte van de nieuwe lijn N ₁ - N ₂ ten opzichte van de lengte van lijn A ₁ - A _{2. Als} bc/ac bijvoorbeeld gelijk is aan 0,80 en het bovenste deel van de ankerlijn A ₁ - A ₂ 2 cm lang is, dan zal het bovenste deel van de nieuwe lijn N ₁ - N ₂ 0,80 * 2,0 = 1,6 cm lang zijn. Herhaal dit voor het lijnstuk onder de horizonlijn ( N ₂ - N ₃ ).

Als de nieuwe lijn dichter bij de kijkrichting d ligt dan de ankerlijn, of aan de tegenoverliggende kant van d ten opzichte van de ankerlijn, dan tel je ba bij ac op . In dat geval is de verhouding bc/ac groter dan 1,0 en zal de nieuwe lijn navenant groter zijn.

Als de lijn zich volledig boven (of onder) de horizonlijn bevindt (linkerzijde van het diagram), dan wordt de verhouding bc/ac toegepast op de lengte A ₁ - A ₃ om het bovenste uiteinde van de nieuwe lijn te verkrijgen, en op de lengte A ₂ - A ₃ om het onderste uiteinde te verkrijgen.

Hoe bepaal je in de eerste plaats de cruciale afstand dc (van de kijkrichting tot een verdwijnpunt)? De eenvoudigste methode is om mijn verdwijnpuntcalculator te gebruiken om de afmetingen van de vp's en mp's te verkrijgen , en vervolgens de kijkafstand tot het object en je kijkhoek aan te passen totdat je de gewenste verhoudingen hebt. Of, zoals hierboven beschreven, kun je de kijkcirkel verkleinen tot een werkbare grootte, de methode voor het roteren van de verdwijnpunten gebruiken om de locaties van vp ₁ en vp ₂ te bepalen , de afstand van deze punten tot dv op het diagram meten en deze afstanden vervolgens terugschalen naar de werkelijke grootte.

Helaas vereist deze methode, zelfs als je hem eenmaal onder de knie hebt, nog steeds veel gepruts met een zakrekenmachine en is hij hopeloos omslachtig en foutgevoelig als er veel lijnen in je tekening moeten worden ingevoegd. De ultieme oplossing is om een ​​diepteraster te genereren voor het verafgelegen verdwijnpunt en dit raster te gebruiken om de perspectiefreductie voor alle verticale lijnen in de tekening te bepalen.

gebruikmakend van een recessie-raster voor verdwijnpunten

Bepaal eerst de hoeken en afstanden van uw gezichtspunt binnen een verkleinde (20 cm) gezichtscirkel die u op een groot vel papier tekent. Meet zorgvuldig met een meetlat de afstanden van dv tot de twee verdwijnpunten vp , het diagonale verdwijnpunt dvp en de twee meetpunten mp , en vermenigvuldig deze vervolgens met 15 om ze op dezelfde schaal te krijgen als de gezichtscirkel van 3 meter (de schaal van de perspectieftekening). Lokaliseer de horizonlijn, dv en de twee meetpunten op uw ondergrond.

Teken nu een verticale lijn aan de linkerkant van de tekening, op een willekeurige plek die u uitkomt. De lijn moet verder naar links liggen dan elk belangrijk object in het tekengebied. Markeer op deze lijn tussen de horizonlijn en de horizonlijn met behulp van een willekeurige, geschikte meeteenheid.

Teken vervolgens een soortgelijke lijn aan de rechterkant van de tekening, wederom ver genoeg naar rechts zodat deze geen belangrijke vormen in de tekening verbergt.

Nu wilt u een kleinere schaal vinden voor deze rechterlijn om de perspectivische terugtrekking van de linkerlijn naar het verdwijnpunt weer te geven. U weet al hoe u dit moet doen: beschouw de linkerlijn als de ankerlijn, bereken de afstand van deze lijn tot het verdwijnpunt ( ac ), vervolgens de afstand van de rechterlijn tot het verdwijnpunt ( bc ), en ten slotte de verhouding bc/ac . Dit is de benodigde schaalverkleining voor de rechterlijn. Als de intervallen op de linkerlijn bijvoorbeeld in inches zijn en de verhouding bc/ac 0,80 is, dan zijn de intervallen op de rechterlijn in 0,80 inch.

Wanneer je intervallen op beide verticale lijnen hebt gemarkeerd, verbind je de corresponderende punten om een ​​diepte-raster van convergerende lijnen (parallelle lijnen in perspectief) te maken. Deze lijnen tonen de helling van elke horizontale lijn die naar het verafgelegen verdwijnpunt convergeert. Je kunt de horizontale lijnen langs een ingeschreven diepte-rasterlijn tekenen (zoals in de basis van het gebouw in het diagram), of horizontale lijnen tussen en ruwweg parallel aan twee willekeurige lijnen (zoals in de top van de toren van het gebouw in het diagram). Dit raster is vooral handig als je de perspectivische diepte moet berekenen voor veel herhalende of vergelijkbare lijnen, bijvoorbeeld de ramen, kolommen, kroonlijsten en richels aan de voorgevel van een gebouw. 

vp-afstand vanaf een objecttekening

Waarom niet gewoon zeggen... ach, laat maar, ik teken de kubus gewoon in de grootte die past bij de tekening, onder de hoeken die me goed lijken, en laat de verdwijnpunten maar ergens terechtkomen?

Dit is vooral mogelijk bij een vrijehandtekening van het object naar de natuur. In die situatie helpen de principes van lineaire perspectief je om te kijken naar de randen, vlakken en proportionele afmetingen van de onderdelen, en om deze elementen nauwkeuriger te tekenen ten opzichte van hun vaste verdwijnpunten. Deze 'ingebeelde' perspectiefcontext is nuttig omdat je expressieve vervormingen kunt aanbrengen in de perspectieffeiten, waarbij je met het blik bepaalt hoe opvallend of subtiel ze zijn.

Als je echter een denkbeeldige of herinnerde vorm helemaal vanaf nul tekent, zoals dat schattige huisje dat je gisteren tijdens je wandeling zag, dan kan de plaatsing van de verdwijnpunten flink misgaan zonder een visueel voorbeeld voor je. En als je eenmaal de basisvorm hebt getekend, moet je ook nog al het andere tekenen zodat de verdwijnpunten, de kijkrichting en de horizonlijn overeenkomen.

De meest voorkomende fout bij het tekenen is het te dicht bij elkaar plaatsen van de verdwijnpunten . De informele aanbeveling is om de verdwijnpunten juist heel ver uit elkaar te plaatsen... nee, nog verder... ga zo door... — met het idee dat onnauwkeurigheden bij ver uit elkaar geplaatste verdwijnpunten moeilijker te zien zijn.

Laten we beginnen met een perspectiefconstante: de afstand tussen de twee verdwijnpunten van het 2PP-model hangt af van de kijkafstand tot het object . Hoe dichter een object zich bij ons gezichtsveld bevindt, hoe dichter de twee perspectiefpunten bij elkaar liggen ten opzichte van de grootte van het object. Dit heeft een zeer sterk effect op het perspectief, zoals duidelijk te zien is in deze vier kubussen van exact dezelfde verticale grootte, getekend zoals ze eruit zouden zien bij toenemende kijkafstanden.

2PP-kubus gezien vanuit vier verschillende afstanden

Een kubusvormige doos van 2 meter hoog, gezien vanaf (van links naar rechts) 3 meter, 6 meter, 12 meter en 24 meter.

De vorm van de kubus alleen al vertelt ons veel over de afstand tot ons. De afvlakking in de "verre" kubus (24 meter, rechts) is wat we zouden verwachten te zien door een verrekijker of een telescoop, terwijl de bolling in de "nabije" kubus (3 meter, links) een groothoeklens nabootst. Deze "nabije" kubus lijkt op veel slecht uitgevoerde perspectieftekeningen, omdat de kubus te groot is ten opzichte van het verticale vlak . 

Het perspectiefprobleem is dus het vinden van een verdwijnpuntafstand die overeenkomt met de schijnbare afstand tot het object dat we willen weergeven. En dit is precies het probleem waarvoor het gezichtsveldkader is ontworpen. Gelukkig kunnen we, als we beginnen met een acceptabele 2PP-tekening van de voorzijden van de primaire vorm, de 90°-gezichtsveldhoek reconstrueren vanuit de objecttekening met behulp van de halve cirkel van Thales . De gezichtsveldhoek kan vervolgens worden gebruikt om de verdwijnpunten te bepalen.

met behulp van een halve cirkel van Thales om de 90°-kijkcirkel te vinden

Laten we als uitgangspunt een ruwe, uit de vrije hand getekende schets nemen van een kubusvormige doos van 2 meter hoog, gezien vanaf ongeveer 6 meter afstand. We hebben deze schets in het veld op de achterkant van een envelop gemaakt en willen er nu een meer uitgewerkte tekening op voortbouwen.

Verleng eerst de voorste randen van de primaire vorm aan beide zijden totdat ze elkaar ontmoeten in twee verdwijnpunten, vp ₁ en vp _2. Verbind deze punten met een rechte lijn; dit is de verdwijnlijn van de primaire vorm. Als de vorm horizontaal en verticaal ten opzichte van de grond staat, zoals een gebouw, dan is dit tevens de horizonlijn .

Dit is het punt om esthetische correcties aan te brengen. Als dit bijvoorbeeld de horizonlijn is, moet deze waterpas zijn. Zo niet, teken hem dan opnieuw waterpas en verplaats de verdwijnpunten door ze verticaal omhoog of omlaag te verschuiven. Teken vervolgens de verdwijnlijnen vanuit deze punten terug naar de objecttekening.

Zoek vervolgens het middelpunt M op de horizonlijn tussen de twee verdwijnpunten, met behulp van een liniaal of de middellijnverdeling . Teken daarna een halve cirkel rond het middelpunt M, van het ene verdwijnpunt naar het andere. Dit is de halve cirkel van Thales .

Het nuttige geometrische gegeven is dat de hoek van 90° van een rechthoekige driehoek op een halve cirkel moet liggen, als de diameter van de halve cirkel tevens de hypotenuse van de rechthoekige driehoek is. Deze rechte hoek is natuurlijk het gezichtspunt dat we gebruiken om de verdwijnpunten van 2PP te roteren . Dit gezichtspunt moet op de halve cirkel van Thales liggen.

Maar waar? Om dat te vinden, moeten we de kijkrichting bepalen. Dit is een enigszins willekeurige keuze, maar meestal bevindt de kijkrichting zich op de horizonlijn, ergens rond de voorrand of het midden van de vorm. Trek vanuit de kijkrichting een lijn loodrecht op de horizonlijn omhoog naar de halve cirkel van Thales, die het gevouwen gezichtspunt aangeeft . De afstand van de kijkrichting tot het gedraaide gezichtspunt is de straal van de 90°-cirkel.

Ik beweerde dat de kubus in dit voorbeeld een kubus van 2 meter hoog was, gezien vanaf 6 meter. Laten we dat controleren. De kijkrichting ( dv ) bevindt zich ongeveer driekwart van de hoogte van de voorrand, dus de kijkhoogte is ongeveer 1,5 meter boven de grond. Omdat de horizonlijn zich altijd op hetzelfde niveau bevindt als het gezichtspunt, komt dit overeen met onze staande hoogte op een vlakke ondergrond wanneer we de kubus bekijken.

Per definitie is deze 1,5 meter ook de straal van de 90°-cirkel van het beeld, en tevens de impliciete kijkafstand tot het uiteindelijke beeld.

In de tekening is de verticale zijde van de kubus 16% van de diameter van de gezichtscirkel, oftewel 48 cm; dit is de afmeting van de tekening. We hebben dus de kijkafstand (150 cm), de afmeting van de tekening (48 cm) en de afmeting van het object (200 cm). Met formule 3 vinden we dat de afstand van het object tot het gezichtspunt 3,2 keer de afmeting van het object moet zijn, oftewel 6,3 meter.

Zo hebben we, aan de hand van een ruwe maar nauwkeurige perspectieftekening, de locatie van de verdwijnpunten en de gezichtscirkel gereconstrueerd. We beschikken nu over het raamwerk om nauwkeurig details van het hoofdobject in te voegen en objecten eromheen in dezelfde perspectiefruimte te plaatsen. De afstand tussen de verdwijnpunten ten opzichte van de tekening is niet zomaar "goed genoeg", maar vertegenwoordigt de ruimtelijke verhoudingen die we willen weergeven. 

Waar bevindt zich het projectiecentrum?

De zojuist beschreven methoden kunnen ook worden gebruikt om alle perspectiefelementen in een voltooid schilderij te lokaliseren. Dit is een probleem dat meer van belang is voor kunsthistorici dan voor kunstenaars, maar ik zal de methoden hier beschrijven voor zowel 1PP- als 2PP-schilderijen.

Hieronder volgen de perspectiefelementen die we moeten identificeren, ongeveer in de volgorde waarin we ze aantreffen:

•  Middellijn . Deze is evenwijdig aan de zijranden van een rechthoekig beeldformaat, of loodrecht op de vloer wanneer het schilderij correct is opgehangen. De middellijn loopt bijna altijd door het midden van het beeldformaat.

•  Horizonlijn . Deze loopt meestal parallel aan de onder- of bovenrand van een rechthoekig of vierkant beeldformaat, of parallel aan de vloer wanneer het schilderij correct is opgehangen, op ooghoogte van staande figuren (voor een staande kunstenaar en toeschouwer), of in vergelijkbare verhouding tot ramen, tafels, muren tussen vloeren en plafonds, enzovoort. De horizonlijn loopt zelden door het midden van het beeldformaat.

•  Kijkrichting . Dit is het snijpunt van de horizonlijn en de middenlijn.

•  Afstandspunten . In 1PP-perspectief zijn deze te vinden als de diagonalen van elk vierkant element dat zich naar de dv toe uitstrekt , vaak de vloertegels van renaissance-schilderijen of fresco's.

•  Verdwijnpunten . In een 2PP-schilderij worden deze bepaald aan de hand van de randen van een willekeurig rechthoekig (haaks) object in de afbeelding, dat voldoende scherp en groot is.

•  Gezichtscirkel . De straal van de gezichtscirkel wordt bepaald door de afstand tussen de punten in centraal perspectief, of door de methode van de halve cirkel van Thales in tweepuntsperspectief.

•  Projectiecentrum . De impliciete correcte perspectiefpositie voor het bekijken van het schilderij (het perspectivische projectiecentrum) bevindt zich op een afstand gelijk aan de straal van de kijkcirkel langs een lijn loodrecht op de kijkrichting dv .

1PP Constructie . Een duidelijk voorbeeld hiervan is Rafaels Filosofie , zijn eerste fresco op een grote muur in de vertrekken van het Vaticaan. De afbeelding die ik kan laten zien is aanzienlijk kleiner (het origineel is 8,2 meter breed), maar een reproductie op groot formaat is te vinden in de meeste handboeken over renaissancekunst.

1PP-reconstructie van het projectiecentrum

Uit onderzoek concluderen we dat de fresco in centraal perspectief is uitgevoerd . Dit betekent dat we op zoek zijn naar de kijkrichting ( dv ) en de afstandspunten of diagonale verdwijnpunten ( dvp 's). Deze geven ons het middelpunt en de straal van de gezichtscirkel en het impliciete projectiecentrum.

De orthogonalen die nodig zijn om dv te vinden , bevinden zich in de terugwijkende tongewelfgang in het midden van de afbeelding. Ik heb de vierkante kapitelen van de zuilen aan beide zijden gekozen, die twee orthogonalen (rode lijnen) definiëren die elkaar kruisen tussen de figuren van Plato en Aristoteles.

Omdat de compositie in centraal perspectief is, weet ik dat de horizonlijn horizontaal is en de middellijn er loodrecht op staat. Daarom teken ik deze (blauwe lijnen) vanuit het middenperspectief , waarbij ik de horizonlijn ver buiten het beeld naar één kant doortrek.

De meest voor de hand liggende plek om naar diagonalen te zoeken is de tegelvloer aan de voet van het fresco. De kijkhoek op deze vloertegels is echter vrij klein, waardoor ze moeilijk duidelijk te zien zijn; bovendien kan ik me vergissen als ik denk dat het echte vierkanten zijn. Daarom trek ik een tweede diagonaal vanuit de diagonale hoeken van het kapiteel van de voorste rechte zuil, die in de klassieke architectuur conventioneel vierkant zou zijn. Deze diagonalen (oranje) snijden de horizonlijn vrijwel perfect (dankjewel, Rafaël!), dus concludeer ik dat ik inderdaad het verdwijnpunt van de diagonaal heb gevonden.

Een cirkel met middelpunt dv door dvp definieert de 90°-kijkcirkel, dus de afstand tussen dv en dvp is tevens de kijkafstand tot het schilderij. De breedte van het schilderij is 27 voet, dus volgens de berekening zou het projectiecentrum zich ongeveer 31,5 voet recht voor dv moeten bevinden . Ik ben niet in de Vaticaanse kamer geweest waar dit fresco zich bevindt, maar de foto's die ik heb bekeken suggereren dat het projectiecentrum zich niet op een praktische kijkpositie bevindt. (Het bevindt zich ongeveer 10 voet boven de vloer en enkele meters aan de andere kant van de tegenoverliggende muur!)

De horizonlijn stelt me ​​ook in staat de impliciete positie van de schilder te bepalen ten opzichte van de ruimte die in het fresco is afgebeeld. Deze positie bevindt zich ongeveer op de hoogte van de in het wit geklede figuur rechts van het vooraanzicht (als wordt aangenomen dat de kunstenaar staat), of op de hoogte van de centrale figuren op het bovenste niveau (als wordt aangenomen dat de kunstenaar zit).

Vanuit het dvp-punt kan ik ook de gezichtscirkel van het schilderij bepalen. Door een rechte lijn te trekken van het dvp-punt naar de bovenkant van het fresco, definieer ik een hoek van 20°. De tongewelfrand van het fresco vertegenwoordigt dus een gezichtscirkel van 40°. 

2PP-constructie . Bij tweepuntsperspectief zijn de benodigde elementen hetzelfde, met dien verstande dat je moet beginnen met het vinden van een rechthoekige vorm of vormen die minstens twee verdwijnlijnen voor elk van de twee verdwijnpunten onthullen. Dit object hoeft niet vierkant te zijn, maar het moet wel een rechte hoek hebben op het snijpunt van twee zijden.

Deze verdwijnpunten bepalen op hun beurt alle andere perspectiefelementen. Het snijpunt van elk paar lijnen definieert een verdwijnpunt, en de twee verdwijnpunten definiëren de horizonlijn. Orthogonale lijnen, indien zichtbaar, wijzen in de kijkrichting op de horizonlijn; als er geen orthogonale lijnen zijn, kan de middellijn van het formaat worden gebruikt om de dv te lokaliseren .

De laatste stap is het reconstrueren van de rechthoekige driehoek waarvan de hypotenuse de horizonlijn is tussen de twee verdwijnpunten en waarvan de rechte hoek op de middellijn ligt die vanuit het verdwijnpunt loodrecht op de horizonlijn is getrokken. Dit is het gemakkelijkst te vinden door de rechte hoek van een tekendriehoek, of de hoek van een groot vel papier, langs de middellijn omhoog te trekken totdat beide zijden boven de twee verdwijnpunten liggen: de rechte hoek bevindt zich dan op het gevouwen verdwijnpunt op de gezichtscirkel. Of we kunnen de methode van de halve cirkel van Thales gebruiken .

2PP-reconstructie van het projectiecentrum

In dit schilderij van Edward Hopper negeer ik de suggestie van 3PP in de licht naar boven uitlopende zijkanten van het huis en de helling van de telefoonpaal (hier komen we later op terug).

De diagonalen van de dakrand en de onderlijst van de ramen (oranje) zijn wat slordig getekend, maar ik schat dat hun snijpunten (en de horizonlijn) zich onderaan de afbeelding bevinden. (Deze constructie bepaalt in principe alles, dus moet zo zorgvuldig mogelijk worden uitgevoerd, met zoveel mogelijk verdwijnlijnen.)

De middellijn en kijkrichting ( dv ) zijn willekeurig geplaatst op de middenlijn van het schilderij.

Om het gevouwen gezichtspunt op de gezichtscirkel te vinden, verplaats je de rechte hoek van een tekendriehoek langs de middellijn omhoog totdat de twee randen op beide verdwijnpunten liggen: de rechte hoek ligt dan op de gezichtscirkel; of gebruik de methode van de halve cirkel van Thales door de afstand tussen de twee verdwijnpunten te halveren.

Uit deze constructie komen we verschillende dingen naar voren:

• Hoppers ooghoogte (de horizonlijn) ligt gelijk met het trottoir voor het huis, wat impliceert dat het huis bovenop een heuvel staat en dat de kunstenaar zich bergafwaarts van het huis bevond toen hij schilderde — hoe ver bergafwaarts hangt af van of hij zat of stond.

• De straal van de kijkcirkel is ongeveer 1,8 keer de breedte van dit 50 cm brede schilderij. Dit betekent dat het projectiepunt (kijkafstand) zich op ongeveer 89 cm van het schilderijoppervlak bevindt. Voor het beste effect dient het schilderij iets hoger te worden opgehangen, met de onderrand op ooghoogte van een gemiddeld grote kijker.

• Door de grootste cirkel rond dv tot aan de rand van het beeld te trekken en vervolgens de hoek bij het gevouwen gezichtspunt (25°) te meten, gedefinieerd door de straal van deze cirkel, bepalen we dat het beeld wordt omsloten door een gezichtsveld van 50°, wat de licht bolle uitstraling van de voorgevel van het gebouw veroorzaakt.

• De naar buiten uitlopende zijkanten van het gebouw zijn echter lijnrecht in strijd met de perspectivische geometrie: van onderaf gezien zouden de zijkanten van een gebouw (en de randen die er parallel aan lopen, zoals de telefoonpaal) moeten lijken samen te komen in een derde verdwijnpunt ver boven de horizonlijn, niet eronder. Het feit dat ze naar buiten uitlopen naarmate ze hoger boven de kijker uitsteken, is een perspectivische vertekening die expliciet is geïntroduceerd voor het dramatische effect, omdat het de oude ruïne een karakteristieke dynamiek geeft.

De kunstenaar uit de Renaissance en zijn modernistische collega hielden zich in hun kunst ruim binnen de algemeen aanbevolen beeldcirkel van 60°, maar stonden enige perspectiefvervorming toe voor een dramatisch of esthetisch effect . Het creatief 'aanpassen' van perspectiefvervorming is al bijna zes eeuwen lang een van de subtiliteiten van de schilderkunst.

3PP-constructie . Ten slotte is het zelfs mogelijk om het projectiecentrum en de gezichtscirkel in een 3PP-perspectieftekening te bepalen, mits alle drie de verdwijnpunten kunnen worden vastgesteld vanuit randen of lijnen binnen de afbeelding. De methode hiervoor is complex, maar wordt op de volgende pagina uitgelegd als de perspectiefschetsmethode van 3PP-constructie.

VOLGENDE: Drie-puntsperspectief

Laatst herzien op 01.1.2023 • © 2023 Bruce MacEvoy

architectonische blauwdrukken