techniek

het lichtvlak, het oppervlaktevlak en de schaduwrand

8. Een rechte schaduwrand bevindt zich in het snijpunt van het lichtvlak en het oppervlaktevlak . Het snijpunt van de twee vlakken is een lijn, de schaduwverdwijnlijn, die twee verdwijnpunten heeft aan tegenoverliggende zijden van de visuele bol — één richting het zonnepunt en de andere richting het antisolaire punt. Slechts één daarvan is zichtbaar op het beeldvlak, als het schaduwverdwijnpunt ( svp , diagram hierboven).

Als gevolg hiervan: het verdwijnpunt van de schaduw bevindt zich op het snijpunt van de verdwijnlijn van het lichtvlak en de verdwijnlijn van het oppervlaktevlak . De randen van de schaduw zijn altijd gericht naar het verdwijnpunt van de schaduw, als het verdwijnpunt van het licht het tegenpunt is, of ervan af, als het verdwijnpunt van het licht de lichtbron is. 

9. Twee verdwijnpunten en minstens drie beeldpunten zijn nodig om een ​​randschaduw op het oppervlak te definiëren . De twee verdwijnpunten zijn (1) het schaduwverdwijnpunt svp en (2) het lichtverdwijnpunt lvp . Beide punten liggen op de verdwijnlijn van het lichtvlak ( lpvl ).

De SVP voor een rechte schaduw vereist ten minste (1) één randstationpunt ( sp ) om de locatie en richting van een verdwijnlijn van de schaduw in het schaduwontvangstvlak te definiëren, en (2) de LVP vereist twee randeindpunten ( _ep1 en ep2 ) om twee schaduwbeëindigingslijnen te definiëren die de verdwijnlijn _van de schaduw snijden in de twee schaduweindpunten ₍ sep1 en sep2 ₎ .

Overzicht van schaduwconstructies . Alle perspectiefschaduwproblemen vereisen dat u vier basisconstructietaken oplost: (1) de geometrie van het verdwijnpunt van de schaduwrand definiëren, (2) de verdwijnlijn van het lichtvlak definiëren, (3) de verdwijnlijn van het oppervlaktevlak en de locatie van het/de verdwijnpunt(en) van de schaduw definiëren, en (4) de schaduwrand construeren in het snijpunt van het lichtvlak en het oppervlaktevlak.

Deze vier groepen constructiestappen variëren in complexiteit, afhankelijk van of de schaduwrand en het schaduwvlak parallel of schuin staan ​​ten opzichte van het beeldvlak en parallel, schuin of loodrecht op elkaar. Dit algemene diagram (hieronder) vat de perspectiefschaduwelementen en de afkortingen die ik gebruik om ze aan te duiden samen.

basiselementen van perspectiefschaduwen

het gebruik van verticale projectiepunten voor een schuine rand over een horizontaal vlak.

(1) Perspectief van de schaduwrand. Heel vaak kennen we het verdwijnpunt van de schaduwrand al, omdat we het hebben gebruikt om de schaduwvormende vorm te tekenen. Zo niet, dan identificeren we de eindpunten van de schaduwrand ( ep ₁ en ep ₂ ) en hun stationpunten ( sp ₁ en sp ₂ ) die zich verticaal daaronder bevinden op het oppervlak of grondvlak. Deze kunnen worden gebruikt om de verdwijnlijn van de rand ( evl ) en het verdwijnpunt van de rand ( evp ) te vinden, behalve in gevallen waarin de rand parallel loopt aan het beeldvlak (en het verdwijnpunt zich niet in het beeldvlak bevindt, perspectiefregel 4 ).

(2) Perspectief van het lichtvlak . Het lichtverdwijnpunt ( lvp ), dat ofwel het zonnepunt ofwel het antisolaire punt is, wordt gevonden door de hoek van de hoogte- en azimutlocatie van het punt te roteren. Het lvp zal zich ofwel boven de horizon (zonnepunt) ofwel eronder (antisolaire punt) bevinden. Vervolgens definieert een lijn van lvp door evp de verdwijnlijn van het lichtvlak voor die rand ( lpvl rand ); een lijn van lvp loodrecht op de horizonlijn definieert een soortgelijk vlak voor verticale randen ( lpvl verticaal ).

(3) Perspectief van het oppervlaktevlak . Het oppervlaktevlak is meestal het grondvlak, in welk geval de verdwijnlijn van het oppervlaktevlak ( spvl ) de horizonlijn is. Anders is het oppervlaktevlak onderdeel van een geconstrueerd object, en kan de verdwijnlijn ervan worden gevonden vanuit de randen van de vorm of hun verdwijnpunten (perspectiefregel 10 ). Ten slotte definieert het snijpunt van lpvl verticaal en spvl het schaduwverdwijnpunt voor verticale randen ( svp verticaal ), en het snijpunt van lpvl rand en spvl definieert het schaduwverdwijnpunt voor de schaduwwerpende rand ( svp rand ).

(4) Construeer de schaduwrand . Een lijn vanuit het verdwijnpunt van de schaduw svp verticaal door een randstationpunt sp definieert een schaduwverdwijnlijn. Een lijn vanuit het verdwijnpunt van het licht lvp door het overeenkomende randeindpunt ep definieert een schaduwbeëindigingslijn. Deze lijnen snijden elkaar in het eindpunt van de schaduwrand ( sep ) op het schaduwontvangende oppervlak.

Deze vier stappengroepen worden gebruikt om de instructies voor het tekenen van perspectivische schaduwen in het volgende hoofdstuk te structureren. 

schaduwen van zonlicht

In dit gedeelte wordt beschreven hoe de perspectiefoplossing kan worden geconstrueerd voor alle combinaties van verticale, horizontale of schuine randen die schaduwen werpen op horizontale, verticale of hellende vlakken in 2PP of tweepuntsperspectief . 

De bepalende eigenschappen van zonlicht zijn: (1) de zon heeft een overweldigende lichtkracht, wat betekent dat er slechts één schaduwgeometrie is tussen de zichtbare objecten; (2) de zon heeft een onbeduidende hoekgrootte (ongeveer 1/2° visuele hoek) en een relatief kleine penumbra die kleiner wordt naarmate het schaduwwerpende object dichter bij het schaduwontvangende oppervlak komt, wat betekent dat de zon in feite een puntbron is die parallelle in plaats van divergerende lichtstralen genereert. De randen van zonneschaduwen kunnen meestal worden beschreven door een enkele lijn, aangezien veranderingen in de scherpte van de schaduwrand verwaarloosbaar zijn over de afstanden die door de meeste architectonische vormen worden bepaald.

De belangrijkste alternatieve lichtbron, architecturale of kunstmatige verlichting, wordt in een later hoofdstuk besproken . 

Negen soorten zonneschaduwen . Zonneschaduwen kunnen worden ingedeeld in negen soorten. De onderstaande tabel, gebaseerd op Michael Helms' Perspective Drawing: A Step-by-Step Approach, geeft een overzicht van de negen varianten en hun numerieke volgorde in dit gedeelte.

De bespreking gaat van de eenvoudigste naar de meest complexe problemen en geeft aan waar vereenvoudigende oplossingen mogelijk zijn voor elke combinatie. De voorbeelden zijn zo geschreven dat ze op zichzelf staan ​​als aparte naslagwerken.

Alle afkortingen worden geïntroduceerd in het gedeelte over de basisregels van perspectiefschaduwen , maar ik vat ze hier samen in de volgorde waarin ze in een perspectieftekening moeten worden geïdentificeerd/geconstrueerd. 

elementen van perspectief schaduwen (1) Schaduwrand : het perspectiefbeeld van de fysieke rand die een schaduw werpt. •  Eindpunt ( ep ): een punt dat het einde of de hoek definieert van het lijnstuk dat een (rechte) schaduwwerpende rand definieert. •  Stationspunt ( sp ): het punt op het oppervlak dat zich direct onder een eindpunt van een schaduwrand bevindt; een verticale lijn vanuit een stationspunt loopt door een eindpunt. • Randverdwijnlijn  : de verdwijnlijn gedefinieerd door de twee eindpunten, ep1 en ep2 . •  Randverdwijnpunt ( evp ): het verdwijnpunt van de randverdwijnlijn; omdat het lichtvlak de schaduwrand bevat, definieert het evp altijd de randverdwijnlijn lpvl edge. •  Randconstructielijnen: elke lijn die gebruikt wordt om het beeld van de schaduwwerpende vorm te construeren. (2) Lichtvlak : het vlak dat de schaduwwerpende rand (bijv. de lijn gedefinieerd door ep1 en ep2 ) en het lichtverdwijnpunt lvp bevat . •  Lichtverdwijnpunt ( lvp ): het verdwijnpunt voor nagenoeg parallelle lichtstralen, dat ofwel het zonnepunt ofwel het antisolaire punt is, afhankelijk van de oriëntatie van de waarnemer (beeldvlak) ten opzichte van de zon. •  Verdwijnlijn van het lichtvlak ( lpvl ): de verdwijnlijn voor het lichtvlak; er moet een aparte lpvl zijn voor elke afzonderlijke oriëntatie van de schaduwwerpende rand (dat wil zeggen, een horizontale lpvl voor horizontale randen, een tweede verticale lpvl voor verticale randen en andere schuine lpvl 's voor schuine randen). (3) Oppervlaktevlak : het vlakke oppervlak waarop de schaduw valt. •  Verdwijnlijn van het oppervlaktevlak ( spvl ): de verdwijnlijn voor het vlak waarop de schaduw valt. Voor schaduwen die op het grondvlak en alle horizontale vlakken parallel daaraan vallen, is de horizontale spvl de horizonlijn; anders is het de verdwijnlijn(en) voor een of meer geconstrueerde verticale vlakken ( spvl verticaal ) of schuine vlakken ( spvl schuin ). •  verdwijnlijn van een hellend vlak ( ipvl ): de verdwijnlijn voor het hellende vlak dat een schaduw werpt of ontvangt. •  schaduwverdwijnpunt ( svp ): het verdwijnpunt voor schaduwen die door de schaduwrand op het oppervlaktevlak worden geworpen; het svp bevindt zich altijd op het snijpunt van een verdwijnlijn van het oppervlaktevlak spvl en een verdwijnlijn van het lichtvlak lpvl . (4) schaduwrand : het perspectivische beeld van de schaduw op het oppervlaktevlak. •  schaduwverdwijnlijn: een verdwijnlijn van het schaduwverdwijnpunt svp door een randstationpunt sp ; deze lijn is altijd ook het snijpunt van een lpvl en een spvl . •  schaduweindlijn: elke lijn van het lvp door een rand ep . •  schaduweindpunt ( sep ): het snijpunt van een schaduwverdwijnlijn met een overeenkomende schaduweindlijn.

Een veelgebruikte truc voor het weergeven van schaduwen, vooral in architectuurtekeningen, is de gemengde methode . Hierbij wordt de zonlichtbron willekeurig zo geplaatst dat het licht onder een hoek van 45° op alle horizontale en verticale randen valt. Dit maakt het mogelijk om alle schaduwen te construeren met behulp van de diagonale verdwijnpunten ( dvp 's) in het kader van de zichtcirkel . 

1. Verticale randschaduw op horizontaal oppervlak . Dit en het volgende type schaduw zijn de eenvoudigste perspectiefproblemen en het gemakkelijkst te visualiseren aan de hand van veelvoorkomende schaduwvoorbeelden zoals buitenmuren van gebouwen, telefoonpalen of hekpalen, grote reclameborden of de zijkanten van raamopeningen, die allemaal schaduwen werpen op de grond, bestrating of binnenvloeren.
Schaduwtype 1 demonstreert de basisprocedure voor het bepalen van een eindpunt van een schaduwrand ( sep ): op het snijpunt van (1) een lijn van svp door een sp en (2) een lijn van lvp door het overeenkomende ep . Als het antisolaire punt wordt gebruikt, ligt de schaduw tussen het svp en het sp ; als het solaraire punt wordt gebruikt, ligt de schaduw aan de tegenoverliggende kant.
Constructieprocedures . Gegeven elementen: randlijnsegment, randeindpunten, randstationpunt, oppervlaktevlak, horizonlijn. De belangrijkste perspectiefelementen en hun afkortingen worden hier samengevat . 

(1) verticale randschaduw op horizontaal oppervlak

vergelijk met schaduwtype 2 en schaduwtype 4

(1) Perspectief van de schaduwrand. De schaduwwerpende rand is verticaal (parallel aan het beeldvlak), dus er is slechts één stationpunt ( sp ) en geen verdwijnpunt evp (er is geen verdwijnpunt voor lijnen parallel aan het beeldvlak). Als de verticale rand eindigt in het grondvlak, is het tweede eindpunt ( _ep2 ) gelijk aan het stationpunt.

(2) Perspectief van het lichtvlak. Bepaal eerst het lvp (zonne- of antizonnepunt) boven of onder de horizonlijn, links of rechts van de middellijn. De schaduwwerpende rand is verticaal, daarom is het lichtvlak verticaal voor alle locaties van het lvp (zonne- of antizonnepunt). Teken de verdwijnlijn van het lichtvlak lpvl verticaal als een verticale lijn door het lvp naar de horizonlijn. Als de zon zich bijna in het zenit bevindt (buiten de 90°-cirkel van het gezichtsveld), teken dan lpvl verticaal als een verticale lijn die de horizonlijn snijdt onder de azimuthoek van het lvp links of rechts van de middellijn.

(3) Perspectief van het oppervlaktevlak. Het oppervlaktevlak is horizontaal, dus de verdwijnlijn spvl van het oppervlaktevlak is gelijk aan de horizonlijn (parallelle vlakken convergeren naar dezelfde verdwijnlijn, perspectiefregel 13 ). Markeer ten slotte svp verticaal op het snijpunt van lpvl verticaal en de horizonlijn ( spvl ).

(4) Teken de schaduwrand. Bepaal het verticale randstationpunt ( sp ) en teken een lijn van svp verticaal door sp verticaal om de verdwijnlijn van de schaduw svl te definiëren . Teken vervolgens twee lijnen van lvp door ep ₁ en ep _{2 die} svl snijden in het/de eindpunt(en) van de schaduw ( sep ). De lengte van svl tussen de twee punten sep is het beeld van de schaduwrand.

Opmerkingen . Voor verticale randen die het grondvlak raken, zoals muurranden of telefoonpalen, geldt sp = ep ₂ en is slechts één lijn naar lvp nodig om de lengte (bovenkant) van de randschaduw te definiëren. 

2. Horizontale randschaduw op een horizontaal oppervlak . Dit is een veelvoorkomend type schaduw, dat zich voordoet op de grond, stoep of binnenvloer door de horizontale (bovenste) rand van een muur, dak of reclamebord, een horizontale ophanging zoals een telefoonkabel of brug, of de boven- of onderkant van raamkozijnen.

Schaduwtype 2 is het eenvoudigste probleem dat twee verdwijnpunten voor de schaduw vereist. Een van de verdwijnpunten is het verdwijnpunt voor de horizontale randen van de primaire vorm: vp horizontaal = svp horizontaal; de svp verticaal wordt gedefinieerd door het lichtvlak. Dit creëert twee verschillende verdwijnlijnen voor het lichtvlak, lpvl horizontaal en lpvl verticaal voor respectievelijk de horizontale en verticale randen. In complexere schaduwproblemen worden afzonderlijke lpvl 's en twee svp 's gebruikt, dus de principes voor het identificeren en construeren ervan in dit geval moeten grondig worden onthouden en door observatie worden versterkt.

Constructieprocedures . Reeds gegeven elementen: randlijnsegment, randeindpunten, randstationpunten, oppervlaktevlak, horizonlijn, verdwijnpunt ( vp ) in de horizonlijn gebruikt voor de perspectivische constructie van de horizontale rand. De belangrijkste perspectivische elementen en hun afkortingen worden hier samengevat . 

(2) horizontale randschaduw op horizontaal oppervlak

vergelijk met schaduwtype 4

(1) Perspectief van de schaduwrand. De schaduwwerpende rand is horizontaal (parallel aan het grondvlak), dus het verdwijnpunt evp van de rand ligt op de horizonlijn (perspectiefregel 14 ). De horizontale schaduwwerpende rand is getekend met behulp van een specifiek verdwijnpunt vp horizontaal, dat daarom het verdwijnpunt is voor de horizontale randen: vp horizontaal = evp horizontaal.

(2) Perspectief van het lichtvlak. Plaats het lvp (zonne-/antizonpunt) boven of onder de horizonlijn door de hoogte van de zon ten opzichte van de horizon en het azimut ten opzichte van de kijkrichting te roteren. Construeer de verticale lijn van het lvp als een verticale lijn door het lvp naar de horizonlijn. (De verdwijnlijn van het lichtvlak voor de horizontale rand ( lpvl horizontal ) is niet nodig, maar wordt ter verduidelijking weergegeven.)

(3) Perspectief van het oppervlaktevlak. Het oppervlaktevlak is horizontaal, dus de verdwijnlijn van het oppervlaktevlak spvl is de horizonlijn (parallelle vlakken convergeren naar dezelfde verdwijnlijn, perspectiefregel 13 ). Ten slotte, (A) hernoem het horizontale vp naar svp horizontaal, of verleng een horizontale rand van het schaduwwerpende object als een lijn door de horizonlijn, om svp horizontaal te lokaliseren; en (B) lokaliseer svp verticaal op het snijpunt van het verticale lichtvlak ( lpvl verticaal ) met de horizonlijn ( spvl ).

(4) Teken de schaduwrand. Elk eindpunt van de schaduw ( sep ) bevindt zich op het snijpunt van een horizontale en een verticale verdwijnlijn van de schaduw. Elk eindpunt ep heeft een overeenkomend stationpunt sp in het grondvlak, dat wordt gevonden met een verticale lijn van ep naar de basis van de muur of verticale steun die de horizontale rand bevat. Teken vervolgens voor elk stationpunt sp een verdwijnlijn van de schaduw ( svl verticaal ) van svp verticaal door sp . Teken vervolgens voor het overeenkomende eindpunt ep een lijn van lvp door ep naar svl verticaal in het oppervlaktevlak; hun snijpunt definieert de locatie van het eindpunt van de schaduw ( sep ). Teken ten slotte de horizontale schaduwranden door de uiteinden van de randschaduwen te verbinden met een lijn naar svp horizontaal.

Opmerkingen. Het diagram toont twee afzonderlijke verdwijningslijnen van het lichtvlak ( lpvl verticaal en lpvl horizontaal ) om aan te tonen dat een lpvl altijd het verdwijningspunt van het licht lvp en de rand die de schaduw werpt bevat, en dat in elk geval het verdwijningspunt van de schaduw svp zich bevindt op het snijpunt van twee vlakken : de verdwijningslijn van het oppervlaktevlak (in dit geval de horizonlijn) en de verdwijningslijn van het lichtvlak voor een specifieke rand (horizontaal of verticaal).

Het bovenstaande voorbeeld onderscheidt de twee eindpunten ep en hun corresponderende stationpunten sp en schaduweindpunten sep , om expliciet te maken dat de twee schaduweindpunten sep kunnen worden geconstrueerd met behulp van de methoden voor schaduwtype 1. De grondvlaklijnen van svl verticaal door de sp 's worden gebruikt om de verticale randen van schaduwen te definiëren, en lijnen van lvp door de ep 's worden gebruikt om de verticale locatie van schaduweinden (hoeken) te definiëren. De horizontale lijnen van svl worden gevonden door sep 's verticaal te projecteren vanaf dezelfde horizontale rand. Met deze methode is de horizontale lijn van svp niet nodig voor de constructie.

Als alternatief, indien het horizontale svp-punt en de stationpunten sp al bekend zijn uit de perspectiefconstructie van de muur of steun die de horizontale schaduwrand bevat, hoeft slechts één schaduwpunt (bijv. sep ₁ ) te worden geconstrueerd met behulp van het lvp-punt ; de schaduwomtrek kan worden geconstrueerd met schaduwverdwijnlijnen vanuit dit punt naar de twee svp- punten en/of vanuit de svp- punten door de sp- punten. Dit is handiger wanneer lvp zich bijna recht boven het hoofd bevindt en ver buiten de gezichtscirkel. 

3. Schaduw van een schuine rand op een horizontaal oppervlak . Deze schaduwen ontstaan ​​meestal aan de zijkanten van een hellend dak of gevel, een toegangshelling van een gebouw of een hellende weg, of door de spankabels die een verticale paal ondersteunen (zoals een mast of tentpaal).

Alle verticale en horizontale schaduwelementen worden op dezelfde manier geconstrueerd als in schaduwtype 1 en schaduwtype 2. Zie de bespreking van hellende lijnen en hellende vlakken voor achtergrondinformatie over de geometrie van verdwijningslijnen op hellende vlakken ( lpvl ) .

Constructieprocedures . Reeds gegeven elementen: randlijnsegment, randeindpunten, randstationpunten, oppervlaktevlak, horizonlijn, verdwijnpunten in de horizonlijn voor perspectiefconstructie met de schuine rand. De belangrijkste perspectiefelementen en hun afkortingen worden hier samengevat . 

(3) schuine randschaduw op horizontaal oppervlak

vergelijk met schaduwtype 2

(1) Perspectief van de schaduwrand. Het verdwijnpunt evp van de schuine rand ligt op de verdwijnlijn van het verticale vlak van de muur of steun onder de schuine rand (perspectiefregel 14 ). De horizontale vp wordt gevonden door een lijn door de stationpunten naar de horizonlijn te trekken; de verdwijnlijn van de rand is een lijn die verticaal door dit punt getrokken wordt. Lijnen die door de eindpunten van de rand getrokken worden, snijden deze lijn in hun verdwijnpunten. Het diagram toont twee schuine randen in hetzelfde verticale vlak: ep ₁ en ep ₂ worden verlengd en snijden de verdwijnlijn van het muurvlak in het verdwijnpunt evp ₁ ; ep ₂ en ep ₃ worden verlengd en snijden de verdwijnlijn in het verdwijnpunt evp ₂ .

(2) Perspectief van het lichtvlak. Plaats het lvp (zonne-/antizonpunt) boven of onder de horizonlijn door de hoogte van de zon ten opzichte van de horizon en het azimut ten opzichte van de kijkrichting te roteren. Construeer de verticale lijn van het lvpl als een verticale lijn door het lvp door de horizonlijn (voor schaduwen van de verticale randen van de dragende muur).

Het diagram toont twee schuine randen, dus er zijn twee corresponderende lichtvlakken: lvpl ₁ schuin van lvp door evp ₁ , en lvpl ₂ schuin van lvp door evp ₂ .

(3) Perspectief van het oppervlaktevlak. Het oppervlaktevlak is horizontaal; de spvl is de horizonlijn. Het verticale verdwijnpunt van de schaduw ( svp verticaal) bevindt zich op het snijpunt van de horizonlijn met een verticale lijn door lvp .

Er zijn twee schuine schaduwverdwijnpunten svp inclined voor de twee schuine randen. Beide bevinden zich op het snijpunt van de respectievelijke lpvl met de verdwijnlijn spvl van het oppervlaktevlak (de horizonlijn). Alleen svp ₂ inclined is zichtbaar in het diagram; svp ₁ inclined bevindt zich buiten beeld, heel ver naar rechts.

(4) Construeer de schaduwrand. De hoogte van het eerste eindpunt ( ep ₁ ) wordt bepaald als een verticale schaduw ( schaduwtype 1 ) van sp ₁ , die het schaduweindpunt a definieert . Het tegenoverliggende schaduweindpunt c wordt bepaald als de verticale schaduw voor ep _3. Ten slotte wordt een lijn getrokken van a naar svp ₁ schuin, en van svp ₂ schuin door a : deze snijden elkaar in b , het schaduweindpunt voor de top van de eindmuur.

Opmerkingen . Ik heb dit voorbeeld bedacht om te laten zien hoe schuine randen vaak verdwijnpunten van de rand of schaduwen kunnen produceren die zich ver buiten het beeldgebied bevinden. Het zal echter duidelijk zijn dat de schaduw van de schuine rand net zo nauwkeurig kan worden geconstrueerd met een indirecte methode – als de verticale schaduwen van de drie eindpunten van de rand ( a , b en c ), inclusief het middelpunt sp2 _. Vervolgens worden de drie punten met rechte lijnen verbonden om de schaduwen van de schuine rand te definiëren.

Deze "indirecte" methode (waarbij alleen verticale schaduwen worden gebruikt) is te verkiezen wanneer er weinig schuine randen zijn, het linker gezichtspunt zich binnen of niet ver buiten de gezichtscirkel bevindt, of de schaduw van de schuine rand bijna parallel loopt aan de horizonlijn. De "directe" methode (waarbij het linker gezichtspunt schuin wordt gebruikt ) is beter als het linker gezichtspunt zich ver buiten de gezichtscirkel bevindt, of als er meerdere schuine randen onder dezelfde hoek in perspectief teruglopen (bijvoorbeeld een rij huizen op vlak terrein met identieke dakhellingen); in dit geval kan één enkel extern gezichtspunt worden gebruikt om de randen voor al deze huizen te construeren. 

4. Verticale randschaduw op verticaal oppervlak . Dit is een veelvoorkomend type schaduw dat ontstaat bij commerciële of residentiële gebouwencomplexen die dicht bij elkaar staan: de horizontale elementen van het ene gebouw werpen schaduwen op de verticale oppervlakken van een naburig gebouw. ​​Het ontstaat door elk verticaal element in de buurt van een muur, bijvoorbeeld een telefoonpaal naast een gebouw of de rand van een gebouw vlak bij de muur van een naburig gebouw. ​​(Zie ook schaduwtype 5. )

Dit type schaduw is een combinatie van schaduwtype 1 en schaduwtype 2. Alle randen staan ​​loodrecht op het grondvlak en alle verticale vlakken zijn parallel aan elkaar, waardoor alle schaduwen zich terugtrekken tot de verticale of horizontale richting van het grondvlak .

Constructieprocedures . Reeds gegeven elementen: randeindpunten, randlijnsegment, randstations, horizonlijn, basis in het grondvlak voor alle verticale wanden of oppervlakken, en verdwijnpunten in de horizonlijn voor horizontale vlakken in perspectiefconstructies. De belangrijkste perspectiefelementen en hun afkortingen worden hier samengevat . 

(4) verticale randschaduw op verticaal oppervlak

_{(1) Perspectief van de} schaduwrand. De schaduwwerpende rand is verticaal (parallel aan het beeldvlak), dus er is slechts één stationpunt ( sp ), altijd minstens één eindpunt ( ep1 ) en geen randverdwijnpunt evp (er is geen verdwijnpunt voor lijnen parallel aan het beeldvlak). Als de verticale rand eindigt in het grondvlak, is het tweede eindpunt ( ep2 ) gelijk aan het stationpunt. Markeer vervolgens de eindstations sp verticaal voor alle verticale randeindpunten ep die schaduwen werpen. Het randverdwijnpunt evp horizontaal is het horizontale verdwijnpunt _dat is vastgesteld voor de perspectiefconstructie, of wordt gevonden door een lijn door de juiste sp s naar de horizonlijn te verlengen.

(2) Perspectief van het lichtvlak. Plaats het lvp (zonne-/antizonpunt) boven of onder de horizonlijn door de hoogte van de zon ten opzichte van de horizon en het azimut ten opzichte van de kijkrichting te roteren. Construeer de verticale lijn van het lvpl (voor schaduwen van de verticale randen van de dragende muur) als een verticale lijn door het lvp door de horizonlijn. De horizontale lijn van het lpvl is een lijn van het lvp door de horizontale lijn van het evp .

(3) Perspectief van het oppervlaktevlak. Voor schaduwen op horizontale oppervlakken is de horizontale lijn spvl gelijk aan de horizonlijn. Voor schaduwen op verticale oppervlakken is de verticale lijn svpl een verticale lijn door de horizontale lijn evp . De verticale lijn svp bevindt zich dan op het snijpunt van de verticale lijn lpvl en de horizontale lijn spvl (de horizonlijn); de horizontale lijn svp bevindt zich op het snijpunt van de horizontale lijn lpvl en de verticale lijn svpl : dit is de horizontale lijn evp .

(4) Schaduwrand construeren. In de meest voorkomende situatie strekt een schaduw zich uit over de grond tot aan de voet van een muur en vervolgens omhoog langs de muur tot het eindpunt. Construeer de schaduw op dezelfde manier. Teken eerst de verdwijnlijn van de schaduw ( svl ) vanaf verticaal svp door verticaal sp van de schaduwwerpende rand. Verleng de schaduw vanaf sp langs de verdwijnlijn van de schaduw ( svl ) tot deze de voet van het verticale oppervlak ( sp [muur]) bereikt. Teken een verticale lijn vanaf sp [muur] omhoog langs de zijkant van het verticale oppervlak. Snijd deze lijn met een schaduweindlijn vanaf het verticale eindpunt ep naar lvp om het verticale eindpunt van de schaduw sep te bepalen . Werk eventuele horizontale schaduwelementen af ​​met behulp van de procedures voor schaduwtype 2 of schaduwtype 5 .

Opmerkingen : De kleur van de schaduw die op een verticaal oppervlak valt, verschilt van de kleur van de schaduw die op de grond valt: de schaduw is doorgaans een donkerdere tint van de kleur van het verticale oppervlak en in de meeste gevallen lichter dan de schaduw op de grond, omdat deze wordt verlicht door licht dat van de grond of het wegdek weerkaatst. De schaduw op de grond kan op zijn beurt gekleurd worden door weerkaatst licht van de verlichte delen van verticale oppervlakken die schaduw ontvangen. 

5. Horizontale randschaduw op verticaal oppervlak . Dit is een veelvoorkomend type schaduw dat ontstaat bij commerciële of residentiële gebouwencomplexen die dicht bij elkaar staan: de horizontale elementen van het ene gebouw werpen schaduwen op de verticale oppervlakken van een naburig gebouw. ​​De schaduwwerpende rand kan (1) parallel aan, (2) schuin op, of (3) loodrecht op het verticale oppervlak staan ​​dat de schaduw ontvangt. (Zie ook schaduwtype 4. )

Het belangrijkste kenmerk van dit type schaduw is dat de oriëntatie van het schaduwontvangende oppervlak ten opzichte van de schaduwwerpende rand niet van belang is. In alle gevallen wordt de schaduwrand bepaald door de locatie van de schaduwrand (en de eindpunten van de schaduw) te projecteren op de verticale rand waar het schaduwontvangende oppervlak eindigt of van oriëntatie verandert ten opzichte van de schaduwwerpende rand. Vervolgens wordt de schaduwrand gedefinieerd door een lijn die deze oppervlaktepunten verbindt.

Constructieprocedures . Reeds gegeven elementen: eindpunten van de rand, lijnsegment van de rand, stationpunten van de rand, horizonlijn, alle stationpunten voor de randen van de verticale vlakken (waar ze van oriëntatie veranderen ten opzichte van de horizontale schaduwwerpende rand). De belangrijkste perspectiefelementen en hun afkortingen worden hier samengevat . 

(5) horizontale randschaduw op verticale oppervlakken

Het voorbeeld toont verticale oppervlakken die parallel, schuin en loodrecht staan ​​op de horizontale rand die de schaduw werpt.

(1) Perspectief van de schaduwrand. In het voorbeeld wordt de horizontale rand weergegeven als een hangende balk (voor de duidelijkheid) en de verticale vlakken als de zijden van een achthoekig gebouw. ​​Verleng het lijnstuk van de horizontale rand ( ep ₁ tot ep ₂ ) tot de horizonlijn om het horizontale verdwijnpunt ( evp horizontal ) te bepalen, of gebruik het bestaande vp horizontal voor de muur of steun die de horizontale rand bevat. Bepaal de eindpunten van de horizontale rand ( sp ₁ en sp ₂ ) door verticale lijnen te trekken vanuit de eindpunten van de rand, en teken de lijn van de horizontale rand door deze punten naar evp horizontal. Bepaal ten slotte alle stationpunten sp voor randen in de verticale vlakken waar ze van oriëntatie veranderen ten opzichte van de schaduwwerpende rand — aangeduid met a , b , c en d in het diagram.

(2) Perspectief van het lichtvlak. Plaats het lvp (zonne-/antizonpunt) boven of onder de horizonlijn door de hoogte van de zon ten opzichte van de horizon en het azimut ten opzichte van de kijkrichting te roteren. Construeer het lvpl verticaal (voor schaduwen van de verticale randen van de dragende muur) als een verticale lijn door het lvp door de horizonlijn. Geen ander lpvl is nodig.

(3) Perspectief van het oppervlaktevlak. Het horizontale schaduwontvangende oppervlak is het grondvlak of de daaraan parallelle vlakken; spvl horizontaal is de horizonlijn. Het verticale schaduwontvangende oppervlak is een geconstrueerde muur of een gebouw onder een willekeurige hoek ten opzichte van het beeldvlak; de spvl s voor deze vlakken zijn niet nodig voor de constructie. De schaduwverdwijnpunten svp verticaal en svp horizontaal bevinden zich op het snijpunt van de horizonlijn met lpvl verticaal en spvl verticaal.

(4) Teken de schaduwrand(en). Herhaal voor elke verticale rand van het/de verticale oppervlak(ken) dat de schaduw ontvangt de volgende stappen: (1) Trek een verdwijnlijn van de schaduw vanaf svp verticaal door het wandstationpunt voor een wandrand naar de horizontale randstationlijn om een ​​corresponderend horizontaal randstationpunt te definiëren. (2) Teken een verticale lijn vanaf dit punt om het corresponderende randeindpunt te vinden. (3) Teken een schaduweindlijn vanaf dit eindpunt naar lvp . (4) Bepaal het snijpunt van deze lijn met de wandrand. Zo definieert een verdwijnlijn van svp verticaal door a sp _a in de horizontale randstationlijn; een verticale lijn vanaf sp _a definieert ep _a in de horizontale rand; en een schaduweindlijn van ep _a naar lvp definieert a' aan de rand van het oppervlak; en zo verder om b' , c' en d' in het diagram te definiëren. Verbind ten slotte alle wandrandpunten ( a' tot d' in het voorbeeld) om de schaduwrand over het/de verticale oppervlak(ken) te definiëren.

Opmerkingen . De methode voor het construeren van horizontale schaduwen op verticale oppervlakken is slechts een herhaling van de methode voor het definiëren van verticale schaduwen op verticale oppervlakken ( schaduwtype 4 ), waarbij alle relevante randstations in de horizontale randstationlijn zijn gedefinieerd. Het is doorgaans meer omslachtig dan ingewikkeld. Er zijn drie vereenvoudigende situaties waarin slechts één eindpunt van de schaduwrand hoeft te worden bepaald:

• Voor verticale oppervlakken parallel aan de horizontale schaduwrand: deze schaduwen wijken terug langs een schaduwverdwijnlijn vanaf een enkel schaduwrandpunt ( a' of b' in het diagram) tot svp horizontaal over het parallelle verticale oppervlak.

• Voor verticale oppervlakken loodrecht op de horizontale schaduwprojectierand: deze schaduwen wijken terug naar lvp en worden gedefinieerd door een schaduweindlijn die vanuit lvp door een enkel punt aan de muurrand ( c' of d' in het diagram) over het loodrechte verticale oppervlak loopt.

• Voor verticale oppervlakken die schuin staan ​​ten opzichte van de horizontale rand die de schaduw werpt: deze schaduwen verdwijnen langs een verdwijnlijn die als volgt wordt bepaald. (1) Verleng de basislijn (stationlijn) van de schuine rand, om een ​​nieuwe evl te creëren , totdat deze de stationlijn van de horizontale rand ( X in het diagram) snijdt. (2) Construeer een verticale lijn vanuit dit punt naar de horizontale rand die de schaduw werpt om het randpunt ( Y ) te definiëren. (3) Teken een verdwijnlijn vanuit Y door het schaduwpunt van de schuine rand ( b' of c' in het diagram) over het schuine verticale oppervlak. 

6. Schaduw van een schuine rand op een verticaal oppervlak . Dit is een minder vaak voorkomend, maar niet ongebruikelijk type schaduw dat kan ontstaan ​​door bijvoorbeeld een roltrap in een winkel- of kantoorgebouw, een buitentrap of brandtrap aan de muur van een gebouw, de rand van een schuin dak dat een schaduw werpt op de muur van een aangrenzend gebouw, enzovoort. De schuine rand kan zich in een vlak bevinden dat parallel of schuin staat aan het verticale oppervlak waarop de schaduw valt.

Voor dit type schaduw moet je de verticale verdwijnlijn construeren voor een schuine rand ( epvl inclined) en het verdwijnpunt evp op die lijn bepalen. Voor een algemene inleiding tot deze meetkunde, zie de bespreking van schuine lijnen en schuine vlakken .

Constructieprocedures . Reeds gegeven elementen: (schuine) randeindpunten, randlijnsegment, randstations, horizonlijn, verdwijnpunten in de horizonlijn voor perspectiefconstructies met verticale vlakken, en verdwijnpunten voor perspectiefconstructies met de schuine rand. De belangrijkste perspectiefelementen en hun afkortingen worden hier samengevat . 

(6) schuine randschaduw op verticaal oppervlak

vergelijk met schaduwtype 8

Het diagram toont de schuine rand als een hellingbaan, die een trap of het uiteinde van een hellend dak benadert.

(1) Perspectief van de schaduwrand. Bepaal eerst het verdwijnpunt vp horizontaal en de verdwijnlijn spvl verticaal van het vlak waarop de schaduw valt. Verleng vervolgens de lijn onder de schuine rand (van sp ₁ via sp ₂ ) naar de horizonlijn om het verdwijnpunt van de schuine rand ( vp ₁ ) te bepalen. Trek vervolgens een verticale lijn door dit punt: dit is de verdwijnlijn van het vlak van de schuine rand ( epvl inclined ). Trek ten slotte een lijn van ep ₁ via ep ₂ die epvl snijdt : dit is het verdwijnpunt van de schuine rand ( evp ).

(2) Perspectief van het lichtvlak. Plaats het lvp (zonne-/antizonpunt) boven of onder de horizonlijn door de hoogte van de zon ten opzichte van de horizon en het azimut ten opzichte van de kijkrichting te roteren. Construeer het verticale lvpl (voor schaduwen van de verticale randen van de dragende muur) als een verticale lijn door lvp door de horizonlijn. Ten slotte wordt het hellende lpvl gevonden als een lijn door lvp en evp .

(3) Perspectief van het oppervlaktevlak. Voor verticale schaduwen op horizontale oppervlakken is de horizontale lijn spvl gelijk aan de horizonlijn, en de horizontale lijn svp gelijk aan het snijpunt van de horizontale lijn spvl met de verticale lijn lpvl .

Voor horizontale schaduwen op verticale oppervlakken is de verticale lijn svpl een verticale lijn door de horizontale lijn vp , en is svp verticaal het snijpunt van spvl verticaal met lpvl horizontaal (niet weergegeven in het diagram), wat gelijk is aan vp horizontaal.

Ten slotte is het verdwijnpunt van de schaduwen van de schuine rand op verticale vlakken het snijpunt van de _verticale lijn (spvl) en de schuine lijn (lpvl) _; en het verdwijnpunt van de schaduwen van de schuine rand op horizontale vlakken is het snijpunt van de horizontale lijn ( spvl ) en de schuine lijn (lpvl) .

(4) Schaduwrand construeren. De schaduwranden voor de schuine rand moeten teruglopen naar isvp _V of isvp _H , afhankelijk van het oppervlak waarop ze worden geprojecteerd. Het diagram toont een typische volgorde: de verdwijnlijn van de schaduw svl op het horizontale grondvlak loopt van het stationpunt van de schuine rand ( ep ₁ ) naar isvp _H totdat deze de stationlijn van een verticale muur ( a ) snijdt; vanaf dat punt loopt deze terug naar isvp _V totdat deze de rand van de muur ( b ) bereikt. Vanaf daar bevindt deze zich weer in het horizontale vlak en dus in de svl naar isvp _H totdat deze de schaduweindlijn van lvp naar ep ₂ bij d ontmoet . De schaduwrand van de muur bevindt zich in de svl vanaf het stationpunt c van de muur naar de svp [verticaal].

Opmerkingen . Schuine randschaduwen, zoals de horizontale randschaduwen in schaduwtype 5 , zijn afhankelijk van de hoek tussen de schaduwrand en het verticale oppervlak. Net als bij schaduwtype 5 kan de schaduwconstructie echter worden vereenvoudigd tot de projectie van de punten van de schaduwrand op de randen waar het verticale oppervlak van oriëntatie verandert naar de schuine rand; de schaduwrand wordt getekend door deze punten met elkaar te verbinden.

Het is de moeite waard om de afbeelding te bestuderen totdat u zich kunt voorstellen wat er gebeurt met de verdwijnpunten van de schaduw en het uiterlijk van de schuine schaduw wanneer de relatieve posities van het lichtpunt, de schuine schaduwwerpende rand en het verticale schaduwontvangende oppervlak worden gewijzigd. Gebruik een potlood, een boek dat rechtop op de kaft staat en een bureaulamp om de variaties uit te proberen. Drie algemene principes komen naar voren:

• Het verplaatsen van het lichtpunt ten opzichte van een vast hellend vlak en een vast verticaal vlak verandert alleen de positie van de schaduwrand op het verticale vlak: de hoek van de schaduwrand is altijd gelijk aan de hoek van de hellende rand ten opzichte van het grondvlak.

• Door het verticale wandvlak te roteren ten opzichte van een vast hellend randvlak en een lichtbron, verandert de hoek van de schaduwrand ten opzichte van het grondvlak: de hoek kan echter alleen variëren tussen de hoek van de hellende rand ten opzichte van het grondvlak en de hoogtehoek van de lichtbron.

• Door het hellende vlak te roteren ten opzichte van een vast verticaal vlak en een lichtbron, kan de hoek van de schaduwrand ten opzichte van het grondvlak over het gehele bereik van verticaal tot horizontaal worden gewijzigd, afhankelijk van de hoogte van de lichtbron. Als het hellende vlak vrijwel parallel loopt aan de richting van het licht, met het hoogste punt dichter bij het verticale vlak, zal de schaduwrand altijd vrijwel verticaal zijn; als het laagste punt dichter bij de muur is, kan de schaduwrand horizontaal worden of zelfs in de tegenovergestelde richting hellen, afhankelijk van de hoogte van de lichtbron en de hellingshoek van het hellende vlak. 

7. Verticale randschaduw op een hellend oppervlak . Dit is een veelvoorkomende schaduw in landschappen, bijvoorbeeld de schaduwen van boomstammen of boerderijgebouwen op een hellende heuvel. In stedelijke omgevingen komt het voor als schaduwen op straten in heuvelachtig gebied of op de brede trappenhuizen van openbare gebouwen.

Voor dit type schaduw moet je de verdwijnlijn voor het hellende vlak ( ipvl ) construeren om het verdwijnpunt van de hellende schaduw voor de verticale schaduwprojecterende rand ( isvp vertical ) te vinden. Voor een algemene inleiding tot deze geometrie, zie de bespreking van hellende lijnen en hellende vlakken .

Constructieprocedures . Reeds gegeven elementen: eindpunten van de rand, lijnsegment van de rand, stationpunten van de rand, horizonlijn, perspectiefconstructie voor alle schaduwwerpende randen, twee lijnsegmenten in het schuine schaduwontvangende oppervlak. De belangrijkste perspectiefelementen en hun afkortingen worden hier samengevat . 

(7) verticale randschaduw op hellend oppervlak

_{(1) Perspectief van de} schaduwrand. De schaduwwerpende rand is verticaal (parallel aan het beeldvlak), dus er is slechts één beginpunt ( sp ), altijd minstens één eindpunt ( ep1 ) en geen verdwijnpunt evp (er is geen verdwijnpunt voor lijnen parallel aan het beeldvlak). Als de verticale rand eindigt in het grondvlak, is het tweede eindpunt ( ep2 ) gelijk aan het beginpunt. In het diagram zijn drie verticale randen weergegeven: de paal op de voorgrond en de verticale lijnen aan beide _zijden van het hellende vlak.

(2) Perspectief van het lichtvlak. Plaats het lvp (zonne-/antizonpunt) boven of onder de horizonlijn door de hoogte van de zon ten opzichte van de horizon en het azimut ten opzichte van de kijkrichting te roteren. Construeer het verticale lvpl (het lichtvlak gedefinieerd door schaduwen van verticale randen) als een verticale lijn door het lvp en de horizonlijn. Omdat de schaduwwerpende rand verticaal is, is een schuin lpvl niet nodig.

(3) Perspectief van het oppervlaktevlak. Het schaduwontvangende oppervlak is hellend, daarom is het nodig om de verdwijnlijn ipvl van het hellende vlak te construeren om het verdwijnpunt van de schaduw te bepalen. Twee verdwijnpunten zijn nodig om deze lijn te identificeren:

(a) Twee parallelle randen of lijnen in het hellende vlak kunnen worden verlengd, en hun snijpunt definieert één verdwijnpunt van de rand, evp _1. Als alternatief kan één hellende rand (bijv. ad ) worden verlengd als een lijn; de eindpunten ervan worden verlengd als een tweede lijn die de horizonlijn snijdt (bij vp ₁ ), en een verticale lijn vanuit dit verdwijnpunt snijdt de verdwijnlijn van de rand bij evp ₁ .

(b) Een horizontaal lijnstuk, in dit geval de basis van de helling of trap, wordt verlengd totdat het de horizonlijn snijdt; dit snijpunt definieert het verdwijnpunt van de horizontale rand, evp ₂ .

De ipvl is dan een lijn getrokken tussen deze twee evp 's. De svp vertical bevindt zich op het snijpunt van de lpvl vertical en de horizonlijn. Het verdwijnpunt van de schaduw van het hellend vlak voor verticale randen ( isvp vertical ) wordt gevonden op het snijpunt van de verdwijnlijn van het lichtvlak voor verticale randen ( lpvl vertical ) en de verdwijnlijn van het hellend vlak ( ipvl ).

(4) Schaduwrand construeren. Net als in de vorige voorbeelden begint de constructiestrategie bij het randstationpunt en volgt men een verdwijnlijn van de schaduw voor het schaduwontvangende oppervlak, totdat deze lijn een schaduweindlijn van lvp naar ep snijdt . Voor de verticale paal in het diagram wordt eerst de schaduweindlijn, ep naar lvp , getekend. De schaduwrand voor de verticale paal wordt getekend vanaf het verticale randstationpunt ( sp ) in verticale richting svp , totdat deze de rand van het hellende oppervlak raakt (bij x ); vervolgens wordt de lijn in verticale richting voortgezet totdat deze de rand met een horizontaal of verticaal oppervlak raakt ( y ); daarna wordt deze als verticale lijn voortgezet totdat deze de schaduweindlijn raakt (bij z ).

Voor de schaduw van de verticale hoek op het hellende vlak wordt eerst de schaduweindlijn ( b naar lvp ) getekend. Vervolgens wordt de schaduw van de verticale rand ab geconstrueerd als een lijn van het randstationpunt ( a ) naar isvp verticaal; deze snijdt de schaduweindlijn in c , de schaduw van het hoekpunt b . De horizontale schaduw wordt geconstrueerd als een lijn van het hoekschaduwpunt c naar het horizontale randeindpunt d . Als dit niet geschikt is voor het probleem, moet de isvp horizontaal worden bepaald om de lijn te voltooien; zie schaduwtype 8 . 

8. Horizontale randschaduw op een hellend oppervlak . Dit type schaduw komt minder vaak voor in landschapsomgevingen dan schaduwtype 7 , maar is niet ongebruikelijk in stedelijke omgevingen, bijvoorbeeld als de schaduw van een horizontale dakrand op een lager, hellend dak.

Voor achtergrondinformatie over de geometrie van verdwijningslijnen op hellende vlakken ( lpvl ), zie de bespreking van hellende lijnen en hellende vlakken .

Constructieprocedures . Reeds gegeven elementen: eindpunten van de horizontale rand, middenpunten van de horizontale rand, horizonlijn, perspectiefconstructie voor alle schaduwwerpende objecten en schaduwontvangende oppervlakken, twee lijnsegmenten in het hellende vlak. De belangrijkste perspectiefelementen en hun afkortingen worden hier samengevat . 

(8) horizontale randschaduw op hellend oppervlak

vergelijk met schaduwtype 6

(1) Perspectief van de schaduwrand. Omdat de schaduwwerpende rand horizontaal is, ligt het verdwijnpunt van de horizontale rand op de horizonlijn ( evp horizontaal = vp ₁ horizontaal; zie schaduwtype 2 ). Dit is reeds gegeven in de perspectiefconstructie.

(2) Perspectief van het lichtvlak. Plaats het lvp (zonne-/antizonpunt) boven of onder de horizonlijn door de hoogte van de zon ten opzichte van de horizon en het azimut ten opzichte van de kijkrichting te roteren. Construeer het lpvl verticaal (voor schaduwen van de verticale randen van de dragende muur) als een verticale lijn door lvp door de horizonlijn. Construeer het lpvl horizontaal als een lijn van lvp naar evp horizontaal ( vp ₁ horizontaal ). De schaduwen van de schuine randen vallen op het horizontale vlak, dus lpvl schuin is niet nodig.

(3) Perspectief van het oppervlaktevlak. Het oppervlak dat de schaduw ontvangt is hellend, daarom is het nodig om het ipvl te construeren vanuit het verdwijnpunt voor twee lijnen in het hellende vlak. Een van deze lijnen is typisch het snijpunt met een horizontaal vlak, dat zich uitstrekt tot vp ₂ horizontaal; de andere wordt gevonden door een zijrand te verlengen, vervolgens de stationpunten van deze rand te verlengen tot de horizonlijn ( vp ₃ ) en een verticale lijn vanuit dit punt te construeren om het hellende evp te identificeren. Vervolgens identificeert een lijn door evp en vp ₂ het ipvl .

Het verdwijnpunt voor horizontale schaduwen op het hellende vlak ( isvp horizontaal ) bevindt zich op het snijpunt van de verdwijnlijn van het horizontale lichtvlak ( lpvl horizontaal ) en de verdwijnlijn van het hellende vlak ( ipvl ). Het verdwijnpunt voor verticale schaduwen over het hellende vlak ( isvp verticaal, noodzakelijk voor de verticale steunpunten van de horizontale rand, of voor de paal in het diagram) bevindt zich op het snijpunt van de verdwijnlijn van het verticale lichtvlak ( lpvl verticaal ) en de verdwijnlijn van het hellende vlak ( ipvl ). Het verdwijnpunt voor horizontale schaduwen op een horizontaal vlak ( svp horizontaal ) is het horizontale verdwijnpunt ( vp ₁ of vp ₂ ) op de horizonlijn.

(4) Schaduwrand construeren. De schaduwrand wordt geconstrueerd door te beginnen bij een eindpunt van de horizontale randschaduw en naar het andere eindpunt toe te werken, gebruikmakend van het juiste verdwijnpunt van de schaduw. In het diagram wordt hoekpunt a gevonden zoals in schaduwtype 1 , en verlengd in het horizontale vlak richting svp horizontaal totdat het het hellende vlak snijdt ( b ); van daaruit wordt de schaduwrand voortgezet richting isvp horizontaal totdat deze de rand van het vlak bereikt (bij c ). In het diagram is het uiteinde van de horizontale rand niet zichtbaar, aan de achterste verticale zijde van de hellende constructie.

De schaduw van de verticale paal op het hellende vlak wordt gedefinieerd door twee verborgen punten: een verdwijnlijn van de schaduw vanaf de verticale lijn svp door het verborgen paalstationpunt naar het verborgen stationpunt in het verticale vlak dat de hellende rand bevat ( x ), en van daaruit door een verborgen verticale lijn naar het hellende randpunt y . Vervolgens strekt de schaduwrand zich uit langs de verdwijnlijn van de schaduw vanaf de verticale lijn svp door y naar de schaduweindlijn vanaf de verticale lijn svp door de paal ep ; deze snijden elkaar in z .  

9. Schaduw van een schuine rand op een schuin oppervlak . Dit is een zeldzaam schaduwtype, maar een voorbeeld is een schuin dak dat een schaduw werpt op een lager, schuin dak met een andere oriëntatie.

Voor achtergrondinformatie over de geometrie van verdwijningslijnen op hellende vlakken ( lpvl ), zie de bespreking van hellende lijnen en hellende vlakken .

Constructieprocedures . Reeds gegeven elementen: eindpunten van de schuine rand, horizonlijn, perspectiefconstructie voor alle schaduwgevende objecten en schaduwontvangende oppervlakken, twee lijnsegmenten in het schuine vlak. De belangrijkste perspectiefelementen en hun afkortingen worden hier samengevat . 

(9) schuine randschaduw op schuin oppervlak

Als studiehulpmiddel toont het diagram de verdwijnlijnen van het hellende vlak en de verdwijnlijnen van het lichtvlak voor beide vlakken (aangeduid met 1 en 2 ). In het voorbeeld zijn echter alleen de verdwijnlijn van de rand die de schaduw van vlak 1 werpt ( lpvl [hellend 1]) en de verdwijnlijn van het vlak dat de schaduw op vlak 2 ontvangt ( ipvl ₂ ) nodig om de schaduw te construeren.

(1) Perspectief van de schaduwrand. De rand die de schaduw werpt, bevindt zich in het hellende vlak 1. De stationpunten voor de verticale zijden van dit vlak lopen terug naar de horizonlijn bij vp ₁ , en de hellende randen snijden een verticale lijn vanuit vp ₁ bij evp _1. Het tweede verdwijnpunt van de rand ( evp ₂ ) bevindt zich op de horizonlijn bij vp _2.1 . (Om de schaduwen die het tweede hellende vlak op horizontale oppervlakken werpt compleet te maken, is vp _2.2 toegevoegd.)

(2) Perspectief van het lichtvlak. Plaats het lvp (zonne-/antizonpunt) boven of onder de horizonlijn door de hoogte van de zon ten opzichte van de horizon en het azimut ten opzichte van de kijkrichting te roteren. Construeer lvpl schuin 1 (voor schaduwen geworpen door de schuine randen in vlak 1 ) als een lijn door evp ₁ en lvp . (Vergelijk met schaduwtype 8. )

(3) Perspectief van het oppervlaktevlak. Construeer de verdwijnlijn voor het tweede hellende vlak, ipvl ₂ , met behulp van de methoden beschreven onder schaduwtype 7. Lokaliseer het verdwijnpunt van de schaduw voor hellende schaduwen op het hellende oppervlak, isvp ₁₂ , op het snijpunt van ipvl ₂ en lpvl inclined 1.

(4) Construeer de schaduwrand. Construeer de schaduw in volgorde, beginnend bij het stationpunt a van de schuine rand , en vanaf elk snijpunt van de vlakke rand ( b en c ) naar het juiste verdwijnpunt van de schaduw.

Bestudeer het diagram en let op de constructie van de drie verdwijnlijnen van het lichtvlak lpvl ; let ook op de relatieve locaties van het schaduwverdwijnpunt voor de schuine rand van vlak 1 op horizontale oppervlakken, isvp ₁ , dat zich bevindt op het snijpunt van de verdwijnlijn van het lichtvlak voor schuin vlak 1 , lpvl inclined 1, en de horizontale lijn spvl (de horizonlijn); en de locatie van het verdwijnpunt voor de schuine rand van vlak 2 op horizontale oppervlakken, isvp ₂ , dat zich bevindt op het snijpunt van de verdwijnlijn van het lichtvlak voor het tweede vlak, lpvl inclined 2, en de horizonlijn.

Onregelmatige schaduwranden . In al deze perspectiefvoorbeelden is de schaduwwerpende rand een rechte lijn en het schaduwontvangende oppervlak een vlak. Wat gebeurt er in situaties waarin de rand, het oppervlak of beide gebogen of onregelmatig zijn?

Er zijn geen universeel geldende regels om te volgen, maar er is meestal een eenvoudige procedure die je kunt gebruiken om de perspectiefconstructie te maken. De beste procedure wordt altijd bepaald door twee dingen: (1) het rechtlijnige schaduwtype (van de negen schaduwtypen hierboven) dat het meest lijkt op de onregelmatige schaduw, en (2) een methode om de onregelmatige rand in de perspectiefruimte te projecteren met behulp van een rechtlijnig raamwerk, bijvoorbeeld zoals gedaan werd om een ​​cirkel op een vlak te projecteren.

schaduw van een gebogen rand in een verticaal vlak op een horizontaal oppervlak

Het bovenstaande voorbeeld illustreert een veelvoorkomend architectonisch probleem: een boog of gewelfde opening die een schaduw werpt op de vloer of de grond.

In dit geval lijkt het fundamentele probleem het meest op schaduwen van randen in verticale vlakken die op een horizontaal oppervlak vallen, wat ofwel schaduwtype 1 ofwel schaduwtype 2 is .

Naar aanleiding van het probleem in het diagram (hierboven) lijkt de beste manier om de kromming van deze boog te projecteren als volgt: teken de kromming van de boog met afzonderlijke, ongeveer gelijkmatig verdeelde randpunten ( ep , groene stippen) en gebruik verticale lijnen om deze randpunten op het grondvlak te projecteren als stationpunten ( sp ) in de randstationlijn van de boog. Gebruik vervolgens schaduwtype 1 om de ep 's op het grondvlak te projecteren als afzonderlijke schaduweindpunten ( x ), met behulp van afzonderlijke verdwijningslijnen en beëindigingslijnen voor elk punt. Verbind ten slotte de punten op het grondvlak om de schaduwrand te construeren.

De meeste gebogen randen worden opgenomen in regelmatige vormen die eerst getekend worden met behulp van standaard tweepuntsperspectiefmethoden. Dit betekent dat de verdwijnpunten en meetpunten voor het perspectiefbeeld al bekend zijn. In dat geval is het ook mogelijk om een ​​raster van vierkanten over het oppervlak van de boogopening te projecteren, waarbij het meetpunt en het verdwijnpunt gebruikt worden om de juiste mate van verkorting en terugspringing te bepalen. Vervolgens wordt schaduwtype 1 gebruikt om dit raster op de grond te projecteren. Ten slotte kan het raster gebruikt worden om de schaduwprojectie te reconstrueren, net zoals bij de demonstratie van het projecteren van een cirkel op een vlak. Deze methode is handiger en nauwkeuriger wanneer de schaduwrand complex of zeer onregelmatig is.

Als het schaduwontvangende oppervlak onregelmatig is, bijvoorbeeld convex zoals het buitenoppervlak van een koepel, dan moet u een doorsnede door het oppervlak maken langs de verdwijnlijn van de schaduw voor de verticale of horizontale rand die over het oppervlak valt. Projecteer vervolgens op deze lijn het profiel (de hoogte) van het gebogen oppervlak, waarbij de verdwijnlijn van de schaduw als basislijn of stationlijn voor het profiel wordt gebruikt. Alle hulplijnen die vanuit de randpunten naar het LVP worden getrokken , eindigen dan langs deze profielrand, in plaats van langs de verdwijnlijn van de schaduw (de lijn van het SP naar het SVP ) aan de basis ervan.

Voor complexe randen die op complexe oppervlakken vallen, is de eenvoudigste oplossing om zowel de rand als het oppervlak te abstraheren tot een meer fundamenteel geometrisch probleem, de basisvormen van de schaduw in deze context op te lossen en vervolgens uit de vrije hand een benadering te tekenen van de afwijkingen van de schaduw ten opzichte van deze vereenvoudigde rand. 

schaduwen van lokale lichten

De perspectivische geometrie van schaduwen van lokale lichtbronnen – alle kunstmatige lichtbronnen, inclusief vuren, lampen, straatverlichting en verlichting door ramen of weerkaatst door architectonische structuren – verschilt op drie specifieke manieren van zonneschaduwen:

• Het verdwijnpunt van de schaduw wordt vervangen door het normaalpunt (of de normaalpunten) voor elk schaduwontvangend oppervlak.

• Lichtbronnen zijn meestal visueel groot en bevinden zich dicht bij de rand van de schaduw, waardoor we de projectieverhouding voor de schaduwhalfschaduw moeten berekenen , en

• Er is meestal meer dan één lichtbron , en het relatieve verschil in helderheid tussen de primaire en secundaire lichtbronnen is altijd veel kleiner dan het verschil tussen zonlicht en hemellicht in landschapsomgevingen.

Het normaalpunt . Het onderstaande diagram toont het geval van een verhoogde lokale lichtbron, zoals een straatlantaarn. Het verticale verdwijnpunt van de schaduw (svp vertical) is geen verdwijnpunt op de horizonlijn, maar een specifiek punt binnen de lokale perspectiefruimte: het normaalpunt .

de geometrie van het normale punt

Het normaalpunt is het punt op een vlak dat fysiek het dichtst bij de lichtbron ligt : ​​een lijn vanuit het normaalpunt loodrecht op het vlak snijdt het fysieke middelpunt van de lichtbron. Voor horizontale vlakken is de loodrechte lijn verticaal, waardoor het normaalpunt zich direct onder de lichtbron bevindt (zie diagram hierboven). In landschapsfoto's ligt het verticale zonnevlak dus eigenlijk op een grootcirkel, van het gezichtspunt tot de plek op aarde waar de zon recht boven het oppervlak staat.

De essentie van schaduwconstructie blijft echter hetzelfde. De verdwijnlijn van de schaduw is nog steeds het snijpunt van twee vlakken , het lichtvlak en het oppervlaktevlak, dat altijd getrokken wordt vanuit het normaalpunt door een randstationpunt; en de lengte van de schaduw wordt nog steeds bepaald door een schaduweindlijn van het midden van de lokale lichtbron naar het einde van de rand, zoals beschreven voor schaduwtype 1 .

De grootste complicatie is dat elke binnenmuur, vloer, plafond en meubeloppervlak een afzonderlijk normaalpunt creëert voor alle schaduwen die erop vallen door elke lichtbron in de kamer. Het diagram (hieronder) toont de eenvoudigste opstelling: een enkele plafondlamp in een lege kamer, maar als we meerdere lichtbronnen en meubelstukken toevoegen, kan het probleem behoorlijk complex worden.

normale lichtpunten voor een binnenverlichtingsbron

Voor elk architectonisch oppervlak fungeert het normaalpunt als het verdwijnpunt van de schaduw die erop valt. Het onderstaande diagram toont het geval van twee afzonderlijke schaduwwerpende palen die in de vloer en een muur zijn bevestigd, en de verdwijnlijn van de schaduw (van het normaalpunt door het loodrechte punt of "stationpunt" sp ) en de eindlijn van de schaduw (van de lichtbron door het randpunt ep ) in elk geval.

binnenshuis werpen schaduwen op één enkel oppervlak

Het onderstaande diagram toont het geval van horizontale randen die parallel, loodrecht of schuin ten opzichte van de muur en/of vloer staan. In dit geval kunnen de schuine horizontale schaduwen worden geconstrueerd met behulp van methoden die vergelijkbaar zijn met die voor schaduwtype 5 of schaduwtype 3 , of de punten kunnen worden uitgezet bij elke oppervlakte-rand (vloer, plafond of muurhoeken) met behulp van principes voor horizontale of verticale schaduwen die op horizontale of verticale oppervlakken vallen ( schaduwtype 1 , type 2 of type 4 ).

Binnen werpt schaduwen op meerdere oppervlakken.

In het diagram staat de horizontale balk ab schuin ten opzichte van beide muren erachter. Om de schaduw te tekenen, worden verdwijningslijnen getrokken vanuit het punt loodrecht op de vloer, via de eindpunten ( sp ₁ en sp ₂ ) naar de rand van het oppervlak (plint). Van daaruit worden verticale lijnen getrokken die de schaduweindlijn van de lichtbron door de eindpunten a en b kruisen : deze lijnen snijden elkaar in de schaduweindpunten a' en b' .

In plaats van het schuine verdwijnpunt van de schaduw te construeren dat nodig is om de schuine horizontale schaduwen te definiëren, is een eenvoudigere aanpak om de schaduwovergang in de hoek tussen de twee muren te lokaliseren. Hiervoor wordt een lijn getrokken van het normaalpunt naar het hoekpunt ( x ); deze snijdt de horizontale randlijn in y ; een verticale lijn vanuit dit punt bepaalt het horizontale randpunt ( c ) dat zijn schaduw in deze hoek werpt. Een verticale lijn vanuit x snijdt de schaduweindlijn (van de lichtbron door c ) in c' ; de schaduw wordt voltooid door de twee randsegmenten a' naar c' en c' naar b' te tekenen . Merk op dat, omdat de schaduwafstand toeneemt, de schaduw en de halfschaduw bij het hoekpunt c' iets groter zijn dan bij a' of b' . 

De penumbra . Op enkele uitzonderingen na zijn lichtbronnen geen puntbronnen — ze hebben een waarneembare visuele grootte — en daarom hebben de schaduwen die door lokale lichtbronnen (en door de zon of maan) worden geworpen een karakteristieke penumbra of diffuse rand, die ontstaat wanneer licht van tegenoverliggende zijden van de lichtbron overlappende schaduwranden creëert.

Deze overlappende randen produceren een continue grijsschaal, van de schaduwrijke tot de zonovergoten waarde van het schaduwoppervlak, die afhankelijk is van de kijkhoek van de bron gezien vanaf de rand van de schaduw (zie diagram hieronder).

projectieverhouding en penumbrabreedte

De visuele grootte van de lichtbron is in principe de diameter van de bron gedeeld door de afstand van de bron tot de rand waar de schaduw valt. De exacte methode voor het berekenen van de visuele grootte van de bron wordt hier gegeven , maar het is handiger om deze hoek in radialen uit te drukken, als de projectieverhouding van de bron aan de rand waar de schaduw valt:

projectieverhouding = visuele hoek * (π/180)

De projectieverhouding wordt groter naarmate de diameter van de lichtbron groter is of de afstand tot de bron kleiner. Maar zodra de projectieverhouding is bepaald, is de breedte van de penumbra gelijk aan de projectieverhouding vermenigvuldigd met de afstand tussen de rand van de schaduw en het oppervlak waarop de schaduw valt, oftewel de schaduwafstand .

breedte van de halfschaduw = projectieverhouding * schaduwafstand

De halfschaduw bevindt zich altijd aan weerszijden van de schaduwgrens die zou ontstaan ​​door een puntlichtbron in het fysieke middelpunt van de lichtbron (stippellijn, diagram hierboven). De helft van de breedte van de halfschaduw bevindt zich binnen deze puntschaduwgrens, waardoor het gebied met volledige schaduw kleiner wordt; de andere helft bevindt zich buiten deze grens als een gebied met gedeeltelijke schaduw.

De berekening voor de breedte van de penumbra is van toepassing op een schaduwontvangend oppervlak dat loodrecht op de lichtrichting staat; als het oppervlak onder een schuine hoek ten opzichte van het licht staat, moet de projectieverhouding worden gedeeld door de cosinus van de afwijking van een loodrechte hoek (cosinus(0°) = 1,0). Anders is de projectieverhouding constant voor alle randen onder zonlicht, wat betekent dat de breedte van de penumbra wordt bepaald door de schaduwafstand. Naarmate de schaduwafstand toeneemt, neemt de penumbra evenredig toe (zie afbeelding hieronder).

De halfschaduw is evenredig met de schaduwafstand.

Bij een kabelleuningsysteem werpen de hoger geplaatste kabels een verder gelegen schaduw, waardoor een grotere halfschaduw ontstaat.

De term 'projectieverhouding' benadrukt dat de penumbra in feite een soort beeld is – een gradiëntbeeld van de visuele diameter van de lichtbron. Net als bij elk beeld hangt de grootte van het beeld af van de projectieafstand. In de onderstaande demonstratie wordt een pinhole-beeld van de zon op korte of lange afstand geprojecteerd, en naarmate de schaduwafstand toeneemt, nemen zowel de diameter van het zonnebeeld als de breedte van de penumbra evenredig toe.

Breedte van de halfschaduw en pinhole-afbeelding van de zon

Het belang van de halfschaduw voor een perspectiefbeeld hangt af van verschillende factoren: de kijkhoek van de lichtbron, de afstand waarop de schaduw valt en de afstand van de kijker tot de rand van de schaduw. Deze factoren variëren per situatie. Er is geen vaste regel voor wanneer een halfschaduw de uitstraling van een schaduwrand significant beïnvloedt.

Zoals hierboven uitgelegd , is de projectieverhouding voor zonneschaduwen echter vrijwel constant op 0,5°, oftewel een projectieverhouding van ongeveer 0,009. De breedte van alle halfschaduwen is dus ruwweg 1% van de schaduwafstand. Bij zeer grote schaduwafstanden, bijvoorbeeld bij schaduwen van kliffen of flatgebouwen, is deze projectie aanzienlijk. Het observatiedek van de Eiffeltoren bevindt zich op ongeveer 1000 meter boven de grond, waardoor de halfschaduw rond het middaguur meer dan 10 meter breed is. Vanuit een vliegtuig op een hoogte van 3000 meter is de schaduw echter duidelijk afgebakend.

kijkafstand en zichtbaarheid van de halfschaduw

Zonneschaduw van een sculptuur, gezien vanaf 1/2, 1 en 2 keer de hoogte van het object.

De meeste objecten die door zonlicht worden verlicht, bevinden zich dichter bij de grond dan wij bij hun schaduwen. De halfschaduw van de zon vormt een relatief scherpe grens aan de binnenrand, waardoor de 1% halfschaduw visueel onbeduidend is wanneer de kijkafstand tot de schaduw minstens tweemaal zo groot is als de schaduw zelf (zie foto's hierboven). Deze regel geldt voor alle objecten op de grond die zich binnen een gezichtsveld van 60° of minder bevinden; dezelfde afstandsregels die perspectiefvervormingen elimineren , maskeren ook de halfschaduw van de zon. Op de meeste kijkafstanden kan de zon als een puntbron worden beschouwd .

De regel voor lokale lichtbronnen is complexer, maar over het algemeen is de halfschaduw significant voor kunstlicht . Dit komt doordat lokale lichtbronnen (1) fysiek groot zijn, (2) voorzien zijn van kappen, reflectoren of afdekkingen die de visuele grootte van de lichtbron vergroten of het uitgestraalde licht verspreiden, en (3) zich bevinden in ruimtes of gangen die de kijkafstand tot de schaduw beperken. Deze factoren compenseren meestal de kleine afstand tot de lichtbron. De duidelijk vage randen die hierdoor ontstaan, zijn rustgevender voor de ogen, maar geven schaduwen van binnenverlichting ook een kenmerkend uiterlijk (zie onderstaande diagram).

verschillen tussen schaduwen van zonlicht en lokaal licht

Als de diffuse kappen worden verwijderd, kunnen lokale lichtbronnen een matige tot kleine projectieverhouding hebben. Een standaard matte gloeilamp van 5 cm breed heeft bijvoorbeeld een projectieverhouding van 5% op 1 meter en 1% op 5 meter. Lokale lichtbronnen worden echter normaal gesproken niet in een "onbedekte" modus bekeken.

Veel binnenverlichting wordt gecreëerd door het gedeeltelijk afschermen van daglicht van buiten (blauwe lucht of gereflecteerd zonlicht), of door kunstmatige lichtbronnen die dichtbij genoeg staan ​​om een ​​aanzienlijke hoekgrootte te creëren. In beide gevallen werpt de lichtbron een diffuse schaduw met een zeer grote halfschaduw. De meeste diffuse schaduwen zijn subtiel complex en het is onpraktisch om ze na te bootsen met behulp van perspectiefconstructie. Kennis van perspectiefgeometrie kan echter worden gebruikt om de buitenste grenzen en de donkere kern van een schaduw te definiëren en kan je observatie van de schaduw sturen, zodat je deze nauwkeuriger uit de vrije hand kunt reproduceren.

de geometrie van indirect licht

_{Het voorbeeld toont een raamopening die} daglicht binnenlaat. De labels geven een enkel lichtpunt A in het raam aan en twee punten, a1 en a2 _, aan de bovenkant van de twee schaduwwerpende zijden van een cilinder. Deze punten werpen twee schaduwpunten, s1 en s2 , op het horizontale vlak. Hun locaties worden bepaald met dezelfde techniek als voor verticale zonneschaduwen op een horizontaal vlak ( schaduwtype 1 ). Punt A is het verdwijnpunt van het licht en punt _{C ,} op het horizontale vlak direct onder A , is het verdwijnpunt van de verticale schaduw ( svp verticaal ). Twee lijnen vanuit de basis van de cilinder door deze punten definiëren de randen van de cilinderschaduw die wordt geworpen door alle punten tussen A en B in het raam.

Het diagram toont ook drie extra afbeeldingen vanuit drie andere punten in het venster ( D , E en F ), die drie vergelijkbare, overlappende schaduwen achter de cilinder produceren vanuit verschillende locaties van de schaduwgrens op het cilinderoppervlak.

Als het mogelijk zou zijn om alle punten over het raam op deze manier in kaart te brengen, zou het resultaat een groot halfschaduwgebied zijn met diffuse of overlappende schaduwen. Deze samengestelde schaduw is het lichtst aan de randen en aan het uiterste uiteinde (het verst van de cilinder), waar enig direct licht van delen van het raam valt (de halfschaduw ), en het donkerst in het midden, net achter de basis van de cilinder (de kernschaduw ), waar geen direct licht van enig deel van het raam valt. Alle diffuse schaduwen hebben een halfschaduw, maar ze hebben alleen een kernschaduw als het object dat de schaduw werpt zich dicht genoeg bij het oppervlak bevindt waarop de schaduw valt om al het licht van alle delen van de lichtbron volledig te blokkeren. De kernschaduw is doorgaans uniform in donkerte en, voor rechthoekige lichtbronnen zoals een raam, wordt de schaduw geleidelijk lichter tussen de rand van de kernschaduw en de rand van de halfschaduw.

Alle diffuse slagschaduwen kunnen op een vergelijkbare manier worden opgelost. Eerst worden de uiterste buitenranden van de schaduw uitgezet vanaf de uiterste boven-, zij- en onderpunten van de grote lichtbron. Dit geeft de grenzen van de halfschaduw en de kernschaduw weer. Vervolgens wordt het verschil tussen de waarden van de kernschaduw en de halfschaduw geleidelijk groter gemaakt, van de rand van de kernschaduw tot aan de rand van de halfschaduw.

Helderheidscontrast . De mate van helderheidscontrast tussen de diffuse schaduw en het verlichte deel van het horizontale oppervlak hangt af van de totale hoeveelheid licht afkomstig van de diffuse lichtbron (het raam), het aandeel licht afkomstig van andere bronnen in de ruimte, inclusief gereflecteerd licht van de muren en het plafond, en de lichtadaptatie van het oog.

Het ontstaan ​​van schaduwen door kunstlicht laat zich niet gemakkelijk in specifieke principes omschrijven, maar een paar vuistregels kunnen wel nuttig zijn:

• Schaduwen binnenshuis zijn lang niet zo donker als schaduwen veroorzaakt door de zon, maar over het algemeen worden schaduwen donkerder wanneer er slechts één lichtbron is en de lichtsterkte van die bron erg laag is (bijvoorbeeld kaarslicht). Naarmate kamers lichter worden, zorgt de hogere lichtintensiteit ervoor dat het oog een groter helderheidsbereik waarneemt en reflecteren binnenoppervlakken meer licht terug de kamer in.

• Schaduwen binnenshuis worden duidelijker gekleurd door licht dat van andere oppervlakken weerkaatst, en vooral door daglicht dat via een nabijgelegen raam de kamer binnenkomt.

• Binnenverlichting is zo ontworpen dat het licht diffuus wordt verspreid om schaduwen te verzachten, omdat dit rustgevender en aangenamer is voor het oog. Hierdoor zijn schaduwen binnenshuis over het algemeen erg diffuus en kan het werkelijke schaduwgebied veel kleiner zijn of een andere vorm hebben dan de perspectiefconstructie suggereert. Met andere woorden, hoe complexer de schaduw, hoe belangrijker het is om deze nauwkeurig weer te geven. 

perspectief van reflecties

Reflecties zijn de lineaire perspectiefvervorming van een beeld, veroorzaakt door de vorm van een oppervlak. Als het oppervlak vlak is, zoals het oppervlak van stilstaand water, dan wordt het beeld omgekeerd: van boven naar beneden bij reflecties in water en van links naar rechts bij verticale spiegels. Als het oppervlak gebogen of vervormd is, dan wordt de reflectie zowel omgekeerd als vervormd. 

Reflecties in spiegels of ramen . De regels voor reflecties in een vlak (plat oppervlak) zijn eenvoudig: alles wordt bepaald door lijnen loodrecht op het spiegeloppervlak . Dat wil zeggen dat identieke punten in het object en de reflectie ervan op één lijn loodrecht op het spiegeloppervlak liggen, en dat het gereflecteerde object zich op dezelfde afstand achter de spiegel bevindt als het werkelijke object zich voor de spiegel bevindt.

schaduw van een vierkant object, veroorzaakt door een tl-armatuur

De optica van deze situatie wordt rechts weergegeven, voor een waarnemer die schuin in een spiegel kijkt die in het vlak ax ligt . (We kijken dwars op dit vlak, zodat we voor- en achterkant op dezelfde manier kunnen zien.) De visuele stralen worden gereflecteerd door het spiegeloppervlak, en bij deze reflectie liggen de visuele hoek 1 vóór reflectie en hoek 2 ná reflectie aan weerszijden van een lijn loodrecht op het spiegeloppervlak en zijn ze exact even groot. Het object lijkt daardoor in een rechte lijn door de spiegel naar de virtuele ruimte aan de andere kant te bewegen. Dit resulteert in een beeld van het object alsof het vanuit het virtuele gezichtspunt wordt gezien , niet vanuit het werkelijke gezichtspunt, en met het object omgekeerd (van links naar rechts) in een richting die ook loodrecht op het spiegeloppervlak staat.

Deze geometrie geldt ook voor objecten die niet in de spiegel worden weerspiegeld, bijvoorbeeld de kijker. Het virtuele gezichtspunt bevindt zich even ver achter het spiegelvlak als het werkelijke gezichtspunt ervoor, en beide liggen op een lijn loodrecht op het spiegelvlak rond het punt  x .

De geometrie voor verticale spiegels moet meestal worden uitgewerkt als onderdeel van een perspectieftekening. In het eenvoudigste geval hangt de spiegel aan een verticale muur, of is de reflectie zichtbaar in een raam of glazen wand.

de geometrie van verticale (spiegel- of venster)reflecties

Deze wand heeft een eigen verdwijnpunt voor de randen van de vloer en het plafond ( vp ₂ ), wat een tweede verdwijnpunt creëert voor lijnen loodrecht op het spiegeloppervlak (wand) ( vp ₁ ). Als een of beide verdwijnpunten nog niet gedefinieerd zijn, kunnen ze worden gevonden met behulp van de methoden voor cirkelreconstructie . Het is ook nodig om de spiegelstationlijn te vinden , die meestal de basis is langs de vloer van de wand die de spiegel of het raam ondersteunt, of de grondlijn van de buitenfundering die het reflecterende raam of de deur ondersteunt.

Om de reflectie van een object voor de spiegel te construeren (zoals een van de vier gekleurde bollen), construeer je eerst een lijn vanuit het stationpunt van het object (bijvoorbeeld a onder de rode bol) terug naar het loodrechte verdwijnpunt vp _1. Deze lijn is loodrecht op het spiegelvlak en definieert een snijpunt met de stationlijn van de muur ( b voor de rode bol).

Nu moet je dezelfde afstand ab achter de spiegel vinden langs de loodrechte lijn a-vp _1. Deze afstand vind je door een lijn te trekken vanuit het juiste meetpunt ( mp ₂ ) — dat altijd een meetpunt is dat wordt bepaald door de verdwijnpunten van het spiegelvlak en niet door de verdwijnpunten van een gereflecteerd object — door punt b tot deze een lijn door a snijdt die evenwijdig is aan het beeldvlak: dit definieert punt c . Het lijnstuk ca is de afstand ba zonder verkorting. Trek deze lengte terug tot de perspectivische diepte van punt b door een lijn te trekken van c naar vp ₁ tot deze een lijn door b snijdt die evenwijdig is aan het beeldvlak in punt d . Verkort deze afstand door een lijn van d naar mp ₂ ; het snijpunt e van deze lijn met de lijn a-vp ₁ is het virtuele stationpunt van het gereflecteerde object. De rest van het beeld kan vanuit dit punt worden geconstrueerd.

Het virtuele gezichtspunt en het virtuele stationpunt . Deze methode kan worden herhaald voor andere objecten die in de spiegel of het glas worden weerspiegeld, of kan eenmalig worden uitgevoerd om een ​​weerspiegeld beeld en het bijbehorende stationpunt te bepalen. Deze kunnen vervolgens worden gebruikt om het virtuele gezichtspunt en het virtuele stationpunt te vinden. Deze zijn nuttig omdat ze de locatie en grootte van elke reflectie in de spiegel definiëren.

• Een lijn van het objectstationpunt naar het virtuele stationpunt (van de kijker) snijdt de spiegelstationlijn precies onder het virtuele stationpunt van het object . In het diagram snijdt de lijn van a naar het virtuele stationpunt de spiegelstationlijn in x , wat een verticale lijn definieert naar e , het gereflecteerde beeld van a . Op dezelfde manier snijdt een lijn van 1 aan de voet van de paal naar het virtuele stationpunt de spiegelstationlijn in 2 .

• Lijnen van de boven- en onderkant van het object naar het virtuele gezichtspunt definiëren de verticale afmeting van het gereflecteerde object. Zo definiëren de twee lijnen van het virtuele gezichtspunt naar a en g de locatie van de punten e en f in de reflectie waar de lijnen de verticale lijn vanuit x snijden ; een lijn van de voet van paal 1 naar het virtuele gezichtspunt definieert de voet van paal 3 waar de lijn de verticale lijn vanuit 2 snijdt .

In het bovenstaande diagram definieert de rode bol zijn stationpunt a en zijn gereflecteerde virtuele stationpunt e . Een verticale lijn van e naar de spiegelingslijn definieert een nieuw punt x . Vervolgens snijdt een lijn van a door x een verticale lijn van vp ₁ in het virtuele stationpunt. Merk op hoe punt y de locatie van de paalreflectie bepaalt, en de hoogte van de paalreflectie wordt gevonden door twee lijnen van de uiteinden van de paal naar het virtuele gezichtspunt.

Merk op dat het virtuele gezichtspunt het verdwijnpunt is voor spiegelloodlijnen (pvp) . Dit is logisch als je erover nadenkt: omdat alle spiegelloodlijnen parallel zijn, trekken ze zich allemaal terug naar één enkel verdwijnpunt (perspectiefregel 6 ). Een verdwijnpunt is simpelweg een visuele straal die recht van voren wordt bekeken (perspectiefregel 1 ), en de enige spiegelloodlijn die je recht van voren kunt bekijken, is de reflectie van je eigen gezichtspunt (dat wil zeggen, de reflectie van je ogen). Alle spiegelloodlijnen trekken zich altijd terug naar dat punt, zelfs als je reflectie niet zichtbaar is in de spiegel.

geometrie van spiegelreflecties

Bovendien zijn alle lijnen die het standpunt van de kijker kruisen loodrecht op de horizonlijn in het beeldvlak . In het bovenstaande diagram bevindt het standpunt zich dus op een verticale lijn vanuit vp ₁ ! Dit druist misschien in tegen uw intuïtie, maar het is een andere perspectiefvervorming die precies overeenkomt met de visuele feiten.

Hoe ver onder de horizonlijn bevindt zich het virtuele standpunt? U kunt dit vinden door de spiegeling van een enkel object te construeren, zoals hierboven beschreven, of u kunt het nauwkeuriger construeren vanuit het snijpunt van de spiegelingslijn van het virtuele standpunt met de verticale lijn vanuit het virtuele standpunt (punt s in het diagram rechts). Trek simpelweg een horizontale lijn van s naar de middellijn om x te vinden . Dit creëert een driehoek met sx als de verste zijde, s/standpunt als de hypotenuse en x/standpunt als de basis. (Onthoud dat de verticale lijn vanuit pvp , hoewel deze parallel lijkt te lopen aan de middellijn, in werkelijkheid een convergerende hoek maakt met de middellijn, en dat beide lijnen elkaar snijden in het standpunt.)

Om een ​​driehoek te vinden met exact dezelfde grootte en verhoudingen in perspectief, teken je een lijn van s naar het hoofdpunt pp en een tweede lijn van x naar het loodrechte verdwijnpunt (virtueel gezichtspunt) pvp . Deze twee lijnen snijden elkaar in z , dat zich op dezelfde afstand van het beeldvlak bevindt als het virtuele stationpunt. Teken daarom een ​​tweede horizontale lijn door z die de verticale lijn van pvp snijdt : dit snijpunt is het virtuele stationpunt, vsp .

Wat als je recht in de spiegel kijkt, zodat pvp (virtueel gezichtspunt) = pp ? In dat geval bevindt punt s zich op het snijpunt van een verticale lijn van je linker of rechter dvp naar de spiegelpositielijn, en punt x bevindt zich op het snijpunt van de middellijn met de spiegelpositielijn. Verbind s met pp en x met dvp om z te vinden , en trek van daaruit een horizontale lijn terug naar de middellijn om vsp te bepalen .

Gespiegelde verdwijnpunten . In het eerste voorbeeld gebruikte ik bollen om het storende probleem van gespiegelde verdwijnpunten te vermijden. Nu kunnen we dit aanpakken met behulp van het voorbeeld van een gespiegelde rechthoekige doos. In het onderstaande diagram ligt de spiegel (paarse rechthoek) in een verticaal vlak dat de horizonlijn snijdt in het verdwijnpunt van de spiegel ( mvp , magenta). De hoek van het spiegelvlak ten opzichte van de kijkrichting wordt weergegeven door de visuele straal van mvp naar punt v bovenaan de kijkcirkel; deze hoek is bijna 45°. Op 90° ten opzichte van het verdwijnpunt van de spiegel bevindt zich het loodrechte verdwijnpunt ( pvp , magenta), het verdwijnpunt voor alle loodlijnen op het spiegelvlak, dat, zoals we hebben gezien, ook het virtuele gezichtspunt is op de middellijn.

de geometrie van gereflecteerde verdwijnpunten

In de reële ruimte verdwijnt de rechthoekige doos naar de verdwijnpunten vp ₁ en vp ₂ (blauw); in de virtuele ruimte verdwijnt de gereflecteerde doos naar de gereflecteerde verdwijnpunten ( vp ₁ ) en ( vp ₂ ) (geel).

De virtuele verdwijnpunten worden gevonden door de verdwijnpunten rond v te roteren . De locatie van vp ₁ wordt naar rechts van het spiegelvlak verschoven met de hoek z die bovenaan is weergegeven, dus de virtuele positie van ( vp ₁ ) moet met dezelfde hoek naar links van het spiegelvlak worden verschoven. Meestal zijn vp ₁ , vp ₂ en mvp al bekend door de constructie in je perspectieftekening. Om de spiegeling te construeren, trek je eenvoudigweg lijnen van deze punten naar punt v bovenaan de beeldcirkel, meet je de hoek z met een gradenboog gecentreerd op v , en maak je de rotatie door de hoek z te meten aan de tegenoverliggende zijde van de lijn naar mvp . Bepaal ten slotte ( vp ₂ ) als een lijn vanuit v loodrecht op de lijn vanuit ( vp ₁ ).

Om de reflectie te positioneren, teken je een lijn van vp ₁ door een onderste hoek van de doos ( x ₁ , magenta) naar de spiegelstationlijn (de lijn die teruggaat naar mvp ) om punt R te definiëren . Teken vervolgens de reflectie van deze lijn van punt R terug naar ( vp ₁ ). Teken daarna een lijn van dezelfde hoek x ₁ naar pvp ; deze snijdt de eerste lijn bij x ₂ , de virtuele locatie van de onderste hoek van de gereflecteerde doos. Teken de tweede reflectie-verdwijnlijn van x ₂ naar ( vp ₂ ). Teken ten slotte een lijn van de tegenoverliggende hoek y ₁ (groen) naar pvp ; deze lijn kruist de voorste verdwijnlijn van de gereflecteerde doos bij y _2. Je hebt nu de locatie en de grootte van de voorste onderbreedte van de gereflecteerde doos.

Bepaal de hoogte van de gespiegelde doos door een derde lijn te trekken vanuit een bovenhoek van de werkelijke doos naar pvp , en snijd deze lijn met een verticale lijn vanuit x _2. Bepaal de diepte van de gespiegelde doos met behulp van een lijn vanuit een achterhoek van de werkelijke doos naar pvp ; de hoek bevindt zich op het snijpunt met de gespiegelde verdwijnlijn naar ( vp ₁ ). Voltooi de voor- en zijkanten van de doos met virtuele verdwijnlijnen vanuit deze punten naar ( vp ₁ ) en ( vp ₂ ) waar nodig, met behulp van de stappen die zijn beschreven voor het 2PP-voorbeeld .

De verdwijnpunten van randen die evenwijdig of loodrecht op het spiegelvlak staan, worden teruggeprojecteerd naar hun oorspronkelijke positie, waardoor ze niet hoeven te worden gedraaid.

Ten slotte, als het spiegelvlak een hoek maakt met de kijkrichting en de spiegel naar voren of naar achteren is gekanteld ten opzichte van dat vlak (bijvoorbeeld een spiegel die achterover tegen een muur leunt of naar voren hangt aan een los stuk ophangdraad), dan worden de perspectiefproblemen complexer. Verticaal georiënteerde objecten zullen dan in driepuntsperspectief (3PP) worden gespiegeld en deze drie punten moeten afzonderlijk worden bepaald voor alle objecten in tweepuntsperspectief (2PP) met unieke verdwijnpunten. Deze problemen zijn te complex om hier verder op in te gaan. Benader ze uit de vrije hand of trek een foto van een vergelijkbare opstelling over. 

Reflecties in het water . Nadat we onze teen in de stromingen van vlakke spiegelreflecties hebben gestoken, zijn reflecties aan het wateroppervlak een fluitje van een cent. (Is het niet irritant als mensen meerdere metaforen gebruiken in hun teksten?)

De zwaartekracht zorgt ervoor dat het oppervlak van stilstaand water altijd perfect horizontaal is. Dit betekent dat alle verdwijnpunten van het spiegelvlak zich op de horizonlijn bevinden. Het loodrechte verdwijnpunt (virtueel gezichtspunt) bevindt zich direct onder de voeten van de kijker, wat betekent dat het nooit zichtbaar is op het beeldvlak. Verticale lijnen definiëren alle loodrechte reflecties. Ten slotte zijn de meeste gebouwen waterpas gebouwd, waardoor de verdwijnlijnen van gebouwen parallel of loodrecht op het spiegelvlak staan. Dit betekent dat ze niet hoeven te worden gespiegeld (gedraaid). Geen verdwijnpunten , geen gereflecteerde verdwijnpunten... wat is er makkelijker?

de geometrie van horizontale (water)reflecties

Er zijn hier twee nuances, en beide hebben te maken met de verticale hoogte van de weerspiegeling in het water.

Ten eerste wordt de hoogte altijd gemeten vanaf het reflectievlak en niet vanaf de basis van het object zelf. In het diagram wordt het eindpunt ep van de paal niet gereflecteerd rond zijn stationpunt sp , maar rond zijn stationpunt in het vlak van het wateroppervlak, sp _W.

Voor objecten die langs de rand van een licht hellend strand of moeras staan, is dit geen probleem, omdat het grondniveau ongeveer gelijk is aan het waterniveau. Het diagram toont echter een paal die op een verhoogde wal staat, en deze afstand moet worden meegerekend in de totale lengte die nodig is om het gereflecteerde eindpunt, ep _R , te vinden .

De tweede nuance is dat het object en de weerspiegeling ervan alleen dezelfde hoogte hebben als de kijkrichting vrijwel parallel loopt aan het wateroppervlak. Dit is het geval bij die indrukwekkende ansichtkaarten met enorme bergen die weerspiegeld worden in het oppervlak van een gigantisch meer. In het bovenstaande voorbeeld wordt de weerspiegeling van de paal echter duidelijk onder een neerwaartse hoek bekeken, waardoor deze verkort lijkt ten opzichte van de werkelijke paal.

Geen probleem: omdat de loodlijnen evenwijdig zijn aan het beeldvlak, zijn hun meetpunten de diagonale verdwijnpunten of afstandspunten ( dvp ) aan de boven- of onderkant van de beeldcirkel. Gebruik deze diagonalen om de juiste hoogte van de spiegeling te bepalen, met behulp van de hier beschreven methoden voor het projecteren van een maatbalk of eenheidsmaat in de perspectivische ruimte.

Dat wil zeggen: (1) trek een lijn van sp _W naar een willekeurig punt langs de horizon (in het voorbeeld wordt vp ₁ gebruikt , maar elk punt is geschikt), (2) projecteer de verticale afstand die gereflecteerd moet worden in de diepte met een lijn van ep naar een dvp om punt R ₁ te definiëren , (3) trek een verticale lijn door R ₁ , (4) bepaal de locatie van R ₂ door een diagonaal van sp _W naar hetzelfde dvp door de verticale lijn, en (5) bepaal ep _R door een lijn van je verdwijnpunt ( vp ₁ ) door R ₂ naar een verticale lijn onder sp _W. Kinderspel. 

Reflecties in rimpelend water . Wateroppervlakken die door golven of rimpelingen worden verstoord, creëren zeer complexe reflectiepatronen. Het gaat er hier niet om deze patronen met behulp van geometrie te reconstrueren, maar om te begrijpen hoe je de reflecties visueel kunt interpreteren, zodat je hun poëzie uit de vrije hand kunt benaderen.

reflecties van golven (zijaanzicht)

Dit diagram toont het wateroppervlak over twee golffronten, gezien vanaf de zijkant. De parallelle grijze lijnen die van rechts komen, representeren de zichtlijnen naar de kijker (die op de meeste landschapsafstanden vrijwel parallel lopen vanwege de kleine hoekgrootte van de meeste rimpels of golven). De oorsprong van deze lijnen in het landschap wordt weergegeven als blauwe lijnen. De verticale balken aan de rechterkant representeren het uiterlijk van de golven of rimpels in verticale doorsnede, waarbij de reflectie van de top van elke golf ( c ) wordt aangegeven door een zwarte stip.

Het bovenstaande voorbeeld laat zien hoe de golven eruitzien wanneer de kijkhoek vrijwel parallel loopt aan het wateroppervlak – dat wil zeggen, de golven of rimpelingen worden van grote afstand en/of vanaf een punt langs de oever bekeken. In deze situatie snijdt de top van elke golf het zicht op de golf erachter scherp af, waardoor reflecties vlak langs de toppen van de golven scheren, zoals rechts te zien is als afwisselende strepen bruin (ver landschap) en blauw (lage lucht). Onder deze hoek zijn de omgekeerde reflecties van landschapselementen aan de overkant van het water herkenbaar, of krijgt het water een onduidelijke, donkerdere kleur.

Het middelste voorbeeld toont de golf gezien vanuit een iets scherpere neerwaartse hoek. In dit geval is meer van de reflectie van het golffront zichtbaar, en deze is omgekeerd: het onderste deel van de golf reflecteert een hoger punt aan de hemel, aangegeven door een donkerblauwe balk. Dit zorgt voor een scherp contrast tussen de top van de ene golf en het voorste oppervlak van de golf erachter, en de reflecties van verre objecten gaan verloren in de afwisselende strepen van licht en donker.

Het onderste voorbeeld toont rimpelingen of golven vanuit een hoek waarbij alles behalve de achterkant van elke golf zichtbaar is. Nu gebeuren er twee dingen. De genummerde stippen ( 1 tot en met 12 ) laten zien dat de reflecties eerst omhoog de lucht in gaan en vervolgens terug naar de aarde buigen, zodat elke rimpelreflectie een omgekeerd beeld is van aarde, lage hemel en hoge hemel (bruine, witte en blauwe balken rechts) verbonden met een rechtopstaand beeld van hemel, lage hemel en aarde. Op het punt waar de reflecties samenkomen, is de kijkhoek in het golffront echter bijna loodrecht op het wateroppervlak, waardoor de reflectie verzwakt en de zichtlijn het water kan doordringen (punten a en b ), waardoor de reflectie donkerder wordt en de kleur verschuift naar blauwgroen.

reflecties van golven (bovenaanzicht)

Dit diagram toont de golven of rimpelingen gezien van bovenaf. In dit perspectief kunnen golven twee vormen aannemen. Als de golvingen parallelle golffronten zijn en niet loodrecht op de kijkrichting staan, wat typisch het geval is in stil water dat wordt verstoord door een heersende wind of passerende schepen, dan verschijnen reflecties als herhaalde, gelijkmatig verdeelde golvingen. Als de golven elkaar daadwerkelijk kruisen vanuit verschillende hoeken, wat typisch het geval is in open water, creëren ze een patroon van ruwweg cirkelvormige golvingen van verschillende groottes. Vanuit een scherpe hoek gezien, produceren deze complexe reflectiepatronen van golvingen binnen golvingen, die zich met onregelmatige tussenpozen herhalen. Als de reflectie afkomstig is van een puntbron, zoals de maan of een straatlantaarn, lijken de reflecties uiteen te vallen en complexe ringen of banen in het water te vormen.

Hoe vind ik het virtuele stationpunt achter een verticale spiegel of raam?

Deze onregelmatige rimpelingen, de lieveling van jachthavenschilders, komen minder vaak voor in landschapsschilderijen. In plaats daarvan produceren rimpelingen van alle soorten (maar vooral parallelle golven of rimpelingen veroorzaakt door een constante, heersende wind) een effect dat anisotrope reflecties of simpelweg verticale vervaging wordt genoemd . Dit effect beïnvloedt alleen de verticale positie van horizontale elementen in de reflectie, en niet de horizontale positie van verticale elementen. Zo hebben de zijkanten van de zon of de verticale brugpijlers en arcadezuilen dezelfde horizontale positie (van links naar rechts) in de reflectie, waardoor hun randen relatief scherp zijn, terwijl de horizontale boven- en onderkant van de zon of de horizontale brugoverspanning en arcadebogen een vervaagde verticale positie in de reflectie hebben (afbeelding rechts).

In de meeste gevallen heeft de lucht vrijwel één kleur en het silhouet van het land een tweede kleur, wat een eenvoudig tweekleurig patroon in de reflecties creëert. De gebieden met lucht worden skypools genoemd en de gebieden met landreflecties landpools (afbeelding rechts). De landpools domineren op grote afstand, dicht bij de overkant, en de skypools domineren op korte afstand, dicht bij de waarnemer. De overgang tussen de twee gebieden verschijnt als een complex verweven of overlappen van ruwweg cirkelvormige reflectiegebieden, die de dalen van de onregelmatige cirkelvormige golven in de bovenstaande illustratie voorstellen. Deze ruwweg cirkelvormige dalen lijken uitgerekt omdat we ze van de zijkant bekijken, wat een extreme verkorting veroorzaakt.

De optische effecten van waterreflecties vormen een diepgaand en fascinerend onderzoeksgebied. Ik raad u ten zeerste aan het hoofdstuk "Water en licht" in Color and Light in Nature (tweede editie) van David Lynch en William Livingston (Cambridge, 2001) te raadplegen. 

Reflecties op gebogen oppervlakken . Ten slotte is er het probleem van reflecties van gebogen oppervlakken zoals cilinders (buizen, stalen kolommen), bollen, bolvormige ramen en dergelijke.

Ik heb de literatuur grondig doorzocht en de oplossingen die ik heb gevonden voor het creëren van afbeeldingen van convexe of concave reflecties bestaan ​​ofwel uit gepatenteerde computeranimatiesoftware, ofwel uit ongelooflijk tijdrovende raytracing-procedures. De beste oplossing voor een kunstenaar is tegenwoordig om een ​​foto van het effect over te trekken of te kopiëren, of om geduldig een tekening uit de vrije hand te maken. In dat geval kan een algemene verwachting van de vervorming helpen bij het bepalen van de juiste weergave.

veelvoorkomende landschapselementen die ontstaan ​​door grote rimpelingen of golven.

(boven) verticale vervaging van horizontale kenmerken, zoals glinstering van de zon of de overspanning van een brug; (onder) verweven gebieden van landpoelen (donker) en luchtpoelen (lichtoranje)

(bewerkt naar Lynch & Livingston, 2001)

MC Eschers Hand met reflecterende bol (1935, rechts) demonstreert op prachtige wijze de algemene vorm van bolvormige reflecties en staat in de traditie van anamorfische portretstudies die teruggaat tot Parmigianino's Zelfportret in een bolle spiegel (ca. 1524). Deze lithografie geeft een zeer informatief beeld van de optische vervormingen die optreden in de reflectie van de omringende ruimte (zijn atelier in Rome) en toont de kromming van perspectieflijnen in de randen van het plafond en de muren, en in de boekenkast langs twee muren. (De bol is onder de boekenkast tegen een muur geplaatst, met de dichtstbijzijnde hoek van de kamer aan de rechterkant en de hele kamer en het verlichte raam achter de kunstenaar.) Het laat ook zien hoe de bolvormige reflectie objecten die zich heel dichtbij bevinden vergroot en objecten die verder weg zijn verkleint.

Deze complexe afbeelding zou veel gemakkelijker uit de vrije hand te tekenen zijn, of door een foto over te trekken, dan door middel van moeizame perspectiefconstructie. Maar als constructietruc zouden de belangrijkste oriëntatiepunten van de kamer (de hoeken van het plafond, het raamkozijn, de boekenplanken en de plaats van de stoelen) met de hand in de bolomtrek kunnen worden ingetekend met behulp van de dwarslijnen van de bolprojectiesjabloon . De rest van de tekening zou dan vanuit die referentiepunten ingevuld kunnen worden.

Deze vervormde reflecties kunnen worden "omgekeerd" gereconstrueerd met behulp van anamorfische afbeeldingen . Dit zijn tweedimensionale, onherkenbare tekeningen die herkenbaar worden als ze vanuit een extreme schuine hoek worden bekeken of in de reflectie van een cilindrische of bolvormige spiegel. Deze afbeeldingen waren zeer gebruikelijk in de 17e en 18e eeuw, zowel als perspectivische curiositeiten als voorbeelden van de projectieve vervormingen die interessant waren voor cartografen en meetkundigen.

Als een afbeelding van Escher (bijvoorbeeld de boekenplanken en de randen van het plafond) in een computer wordt gescand, kan deze met animatiesoftware worden "omgezet" in een nauwkeurige weergave van de ruimte die erin wordt weerspiegeld. Ik neem aan dat een of andere aspirant-kunsthistoricus deze oefening zal doen, simpelweg om te ontdekken of de afbeelding een overgetekende foto is of de onvermijdelijke systematische vervormingen van een vrijehandtekening bevat. (Gezien mijn kennis van Eschers esthetiek gok ik op een vrijehandtekening.) 

luchtperspectief

Luchtperspectief is eigenlijk helemaal geen perspectief, maar het effect van de atmosfeer op het uiterlijk van een ver landschap. Leonardo da Vinci bedacht de term toen hij schreef: "Er bestaat een soort perspectief, luchtperspectief genaamd, dat afhangt van de dichtheid van de lucht." Hij leverde een belangrijke bijdrage aan de observatie van dit fenomeen. Sindsdien wordt luchtperspectief vaak aangehaald als een kenmerk van verre uitzichten dat lineair perspectief niet kan verklaren. Maar die opvatting is onjuist: luchtperspectief wordt precies beheerst door lineaire perspectiefgeometrie, net zoals een perspectiefgradiënt dat is.

Het perspectief vanuit de lucht wordt gedeeltelijk veroorzaakt door de Rayleigh-verstrooiing van licht door individuele luchtmoleculen, maar dit effect wordt soms overschaduwd door de verstrooiing door rook- of stofdeeltjes en watermoleculen die in de atmosfeer aanwezig zijn. De verstrooiing door rook of stof is zeer variabel en kan, indien extreem, de kleur van objecten op een afstand van enkele tientallen meters beïnvloeden; de Rayleigh-verstrooiing heeft daarentegen consistentere perspectiefgrenzen.

Zoals het diagram laat zien, neemt de Rayleigh-verstrooiing lineair toe met de afstand (ongeveer het dubbele effect bij een dubbele afstand) en is deze meestal voor het eerst merkbaar op een afstand van ongeveer 750 meter of meer. In de standaard kijkhoek van 90° heeft de kijkafstand (meestal 1,5 meter) een vaste positie op het beeldvlak, namelijk de helft (50%) van de afstand tussen de grondlijn en de horizonlijn. Hierdoor bevindt een object op het grondvlak dat zich op 750 meter van de kijker bevindt zich op 99,9% van de afstand tussen de grondlijn en de horizonlijn. Luchtperspectief is dus een horizonkenmerk en is niet van toepassing op objecten die zichtbaar lager dan de horizonlijn verschijnen. Elk atmosferisch effect dat zich onder de horizon voordoet , kan alleen worden veroorzaakt door mist, nevel of rook.

de geometrie van luchtperspectief

De twee effecten die traditioneel aan luchtperspectief worden toegeschreven zijn (1) een verschuiving naar blauw naarmate objecten verder weg zijn, en (2) een vervaging van objectranden. Beide beweringen zijn onjuist, vooral de eerste, die werd geformuleerd in die verre tijden waarin er nog geen schoorstenen in de industrie, geen kolencentrales en geen miljoenen auto's bestonden.

"Hand met reflecterende bol"

door MC Escher (1935; 32 cm x 21 cm)

De kleurverandering in de atmosfeer hangt af van de samenstelling ervan : rook, stof of smog verschuift de kleur naar wit, geel, bruin of grijs, terwijl waterdamp in schone lucht de kleur naar blauw verschuift, een effect dat luchtlicht wordt genoemd (zie illustratie rechts). Dit contrast in het landschap is vooral duidelijk tussen de winter- en zomermaanden in woestijngebieden zoals Arizona of New Mexico.

De sluiering door rook-, stof- of mistdeeltjes neemt aanzienlijk toe naarmate men dichter bij de grond komt, omdat deze deeltjes de neiging hebben om in de lucht te zakken. Daardoor zal de top van een verre berg donkerder (minder gesluierd) lijken dan de voet ervan, en dit contrast neemt toe met de afstand (rechts). De sluiering door waterdamp en luchtmoleculen is veel gelijkmatiger verdeeld van de grond naar boven, en er is weinig tot geen verandering in het effect over de afstand.

Het sluiereffect is ook afhankelijk van de invalshoek van de zon; watermoleculen en stof- of rookdeeltjes verstrooien het licht voornamelijk naar voren of naar achteren langs het pad van de lichtstraal, waardoor de sluier het meest intens lijkt wanneer je in de richting van een laagstaande zon kijkt of wanneer de zon in je rug staat. Luchtmoleculen verstrooien veel meer licht in richtingen die schuin staan ​​ten opzichte van het pad van het licht, waardoor de Rayleigh-verstrooiing weinig wordt beïnvloed door het tijdstip van de dag; dit is ook de reden waarom de lucht in alle richtingen ongeveer dezelfde blauwe kleur lijkt te hebben.

Luchtperspectief, van welke aard dan ook, veroorzaakt geen merkbare onscherpte van het beeld – wat duidelijk te zien is als je de horizon overdag door een telescoop bekijkt. Sluiervorming zorgt er juist voor dat het beeld waziger wordt , waardoor het contrast in helderheid afneemt en wit en zwart de neiging hebben om in elkaar over te vloeien tot een middengrijs. Dit gebrek aan contrast maakt alle randen minder scherp en zorgt ervoor dat kleine details of texturen visueel samensmelten tot een homogene kleur.

Atmosferische vervaging is bijna altijd het gevolg van thermische turbulentie , hetzelfde fenomeen dat ervoor zorgt dat sterren 's nachts twinkelen. Stijgende stromen warme lucht creëren een mengsel van kleine luchtzakjes of -cellen met warmere (minder dichte) en koelere (dichtere) lucht. Deze verschillende luchtdichtheden breken of verstrooien de lucht onder iets verschillende hoeken, waardoor ze als kleine lenzen of prisma's fungeren en het beeld dat erdoorheen gaat vervormen, op dezelfde manier als beelden wazig worden door een douchedeur met textuur of rimpelend water.

De conclusie is dat luchtperspectief door verschillende oorzaken ontstaat. Al deze oorzaken worden sterker naarmate de afstand groter wordt, maar elk ervan heeft een subtiel verschillend effect op de kleur, het contrast, de scherpte van het beeld en de verticale consistentie van de horizonachtergrond voor landschapsschilders. 

regenbogen

Ter afsluiting van deze perspectiefstudies is het passend om naar regenbogen te kijken. Regenbogen werden een belangrijk thema in de westerse kunst tijdens de late 18e en vroege 19e eeuw, toen de academische nauwkeurigheid van het perspectief plaatsmaakte voor een nieuwe interesse in de atmosferische effecten van licht en wolken. En zo markeren ze het einde van onze perspectiefstudies.

De geometrie van de regenboog is eenvoudig en overal hetzelfde: de essentie ervan werd zo'n 2400 jaar geleden al duidelijk beschreven in Aristoteles' Meteorologie . Als je deze geometrie eenmaal begrijpt, is het verbazingwekkend hoeveel perspectieffouten je kunt vinden in schilderijen uit de 18e en 19e eeuw – regenbogen die te breed of te smal zijn, een verkeerde kromming hebben, niet overeenkomen met de positie van schaduwen of de zon, of vervormd zijn door onjuiste verkorting. Deze vervormingen zien er vaak vreemd uit, zelfs als de kijker niet kan verklaren waarom, en ze leveren meestal geen aangenaam effect op.

de geometrie van regenbogen

weergegeven binnen een gezichtsveld van 90°; de zon staat ongeveer 20° boven de horizon (laat in de middag).

De regenboog is een cirkelvormige band van gebroken licht, gecentreerd rond het antisolaire punt ( asp ), het punt aan de hemel recht tegenover de zon (zie diagram hierboven). Hij ontstaat door de breking en één interne reflectie van licht in een regendruppel, zoals beschreven op de pagina over de oorzaken van kleur .

De regenboog heeft altijd een straal (aan de buitenomtrek) van 42° visuele hoek, en de spectrale band is ongeveer 2° visuele hoek breed (de breedte van vier volle manen). De kleuren zijn gerangschikt in spectrale volgorde van rood (aan de buitenrand) via geel, groen, blauw tot violet (aan de binnenrand). Een handig ezelsbruggetje is: Rood aan de rand , Blauw in de kom van de regenboog.

Soms verschijnt er een tweede, zwakkere regenboog buiten de eerste, met dezelfde breedte als de primaire regenboog en een straal van 51° visuele hoek van de punt tot de binnenrand. Deze secundaire regenboog ontstaat door twee interne reflecties van de lichtstraal in de regendruppel. Door de tweede reflectie wordt deze tweede regenboog een spiegelbeeld van de primaire regenboog, waardoor de kleurenvolgorde omgekeerd is: rood aan de binnenrand en blauw tot violet aan de buitenomtrek.

Vanuit een bepaald perspectief lijkt de waarnemer zich altijd in het middelpunt van een hemelbol te bevinden, waardoor het antisolaire punt onder de horizon zich altijd in het midden van de schaduw van het hoofd van de waarnemer op de grond bevindt .

Het verticale verdwijnpunt van de schaduw ( svp vertical ) bevindt zich op de horizon op een verticale lijn vanaf het antisolaire punt; het svp ligt altijd direct onder het hoogste punt in de boog van de regenboog en op vlakke grond is het gecentreerd tussen de twee uiteinden van de regenboog.

Regendruppels tussen de schijnbare positie van de primaire en secundaire regenboog weerkaatsen geen licht terug naar de waarnemer, waardoor dit gebied merkbaar donkerder lijkt dan de rest van de hemel. Dit effect wordt de donkere band van Alexander genoemd (zie diagram hierboven).

Luchtfoto vanuit rook of stof (boven) en vanuit waterdamp (onder).

Het gebied binnen de primaire regenboog lijkt bijna altijd aanzienlijk helderder (en in mindere mate ook het gebied buiten de secundaire regenboog) vanwege willekeurige verstrooiing van wit licht (afbeelding rechts). Omdat dit interne licht spectraal neutraal is, kan het elke gewenste kleurafwijking van zonlicht aannemen – typisch de roodtint bij zonsondergang. Regenbogen bij zonsopgang of zonsondergang vertonen ook aanzienlijk zwakkere groene en violette banden, omdat deze golflengten al uit het licht zijn gefilterd.

Alle schaduwen op de voorgrond lijken terug te vallen in de regenboog (een prachtig effect in een veld met hoog gras of een woestijnlandschap met lage begroeiing), zoals te zien is bij de twee palen op de voorgrond (diagram hierboven). JMW Turner , een buitengewoon scherpzinnige kunstenaar en hoogleraar perspectief aan de Royal Academy, was zeer kritisch over Peter Paul Rubens' Regenbooglandschap (in de Wallace Collection, Londen) omdat Rubens schaduwen op de voorgrond zijwaarts voor een regenboog in de verte liet vallen . Zoals de meest rechtse paal in de illustratie echter laat zien, kunnen objecten in de verte aan beide uiteinden van de regenboog zo ver naar één kant van de verticale as verschoven worden dat hun schaduwen bijna parallel aan de horizon lijken te vallen.

We kunnen nooit aan de zijkant van een regenboog staan. Een verkorte regenboog, bijvoorbeeld een boog van voorbij de horizon die in een pot met goud aan je voeten eindigt, is optisch onmogelijk. De regenboog is altijd gecentreerd op de schaduw van het hoofd van de waarnemer , waardoor de schijnbare positie van de waarnemer zich altijd recht voor een perfect cirkelvormige regenboogboog bevindt. Dit is de reden waarom regenbogen lijken mee te bewegen met een waarnemer in een rijdende auto of trein. Om dezelfde reden kunnen de zon en een regenboog nooit tegelijkertijd in een afbeelding voorkomen. Zonnestralen (bijvoorbeeld door de wolken van een wegtrekkende storm) lijken altijd samen te komen in het antisolaire punt in het midden van de boog – een ander adembenemend atmosferisch schouwspel.

In de nevel van een nabijgelegen waterval of de sproeinevel van een tuinslang kunnen regenbogen bijna cirkelvormig lijken. Wanneer de zon echter boven de horizon staat (wat nodig is voor een regenboog in het landschap), bevindt het antisolaire punt zich onder de horizon, waardoor het grondvlak altijd de helft of meer van de cirkelvormige vertoning afsnijdt. Regenbogen lijken rechter te worden en dichter bij de grond te komen naarmate de zon hoger aan de hemel staat. Bij zonsondergang of zonsopgang kan de regenboog een halve cirkel benaderen en bijna tot halverwege het zenit reiken (afbeeldingen rechts).

Regenbogen kunnen niet verschijnen als de zon hoger dan 42° aan de hemel staat, wat een subtiele afhankelijkheid van breedtegraad, geografie en tijdstip van de dag met zich meebrengt. Ze verschijnen alleen tijdens het regenseizoen; in de zomermaanden (wanneer de zon vaak hoog aan de hemel staat) verschijnen ze alleen 's ochtends of 's middags, maar in de wintermaanden (wanneer de zon altijd laag aan de hemel staat) kunnen ze op elk moment van de dag verschijnen. De meest spectaculaire verschijnselen doen zich voor wanneer zware regenbuien oostwaarts trekken en laat in de middag ophouden. En regenbogen op het noordelijk halfrond kunnen nooit een boog over de zuidelijke hemel vormen (omdat de zon zich dan achter de waarnemer moet bevinden). Regenbogen zijn dus afhankelijk van dezelfde basiselementen van gezichtspunt en kijkrichting die altijd centraal staan ​​in perspectiefstudies; de schoonheid van regenbogen schuilt erin dat ze deze basiselementen tentoonstellen door stralende kleuren te combineren met de feiten van seizoen, geografie en tijdstip van de dag.

Toch zijn de spectrale kleuren van de regenboog niet zo puur als de kleuren die je door een prisma ziet. De intensiteit wordt verminderd door spectrale vervaging , oftewel overlapping tussen vergelijkbare golflengten. Dit wordt veroorzaakt door de hoekdiameter van 1/2° van de zon en door de lichtbrekingspaden van het licht dat door de regendruppel wordt gebroken. Deze vervaging vermindert de zuiverheid van "blauw" spectraal licht met meer dan 75% en de zuiverheid van "rood" licht met ongeveer 40%. Rood is daarom meestal de dominante of meest levendige kleur in een regenboog, een voorkeur die versterkt wordt rond zonsopgang of zonsondergang, wanneer de regenboogboog hoger aan de hemel komt te staan.

De intensiteit van de regenboogkleuren varieert ook met de hoeveelheid zonlicht en de donkerte van de achtergrondwolken of de lucht, en vooral met de grootte van de regendruppels. De grootste druppels (groter dan 2 mm) produceren de helderste, scherpste kleuren; naarmate de druppels kleiner worden, lijken de kleuren "vervaagd" of wit door overlappende spectrale tinten; de gele en groene banden vervagen als eerste tot wit. Deze vervaging is extreem in mist, waar de druppels erg klein en gelijkmatig verdeeld zijn, waardoor alle kleuren weer in wit overvloeien. Deze achromatische mistbogen hebben dezelfde straal en volgen dezelfde perspectiefregels als een chromatische regenboog.

Omdat er langs een zichtlijn die vrijwel parallel aan de grond loopt meer regendruppels zijn dan omhoog richting het zenit, en omdat regendruppels de neiging hebben om in grootte toe te nemen door samenklontering tijdens het vallen, produceren deze talrijkere, grotere regendruppels kleuren die dichter bij de aarde helderder zijn dan aan de top van de boog.

Terug naar Elementen van Perspectief

Laatst herzien op 01.1.2023 • © 2023 Bruce MacEvoy

Interne helderheid zichtbaar tegen een donkere zonsondergang.

De hoek waaronder een regenboog de grond raakt, hangt af van de hoogte van de zon aan de hemel.

(links) regenboog vlak voor zonsondergang, (rechts) regenboog in de vroege middag