techniek

Waarom de basisvorm niet gewoon uit de vrije hand in perspectief tekenen? Omdat, zoals we al in 2PP hebben gezien, een onnauwkeurige plaatsing van verdwijnpunten resulteert in een vervormd perspectief; zelfs kleine vervormingen kunnen duidelijk zichtbaar zijn in een voltooide tekening. Er is een betere manier.

Je begint met een perspectiefschets uit de vrije hand of een verkleinde perspectieftekening in het midden van een vrij groot vel papier (een stuk van 90 cm van een rol inpakpapier of wit slagerspapier is ideaal).

Driepuntsperspectief: perspectiefschets van de primaire vorm

Je tekening of foto van de basisvorm moet klein genoeg zijn om alle perspectiefpunten op het vel papier te laten passen, maar groot genoeg om er nauwkeurig mee te kunnen werken — een tekening van ongeveer 10 cm aan de langste zijde is meestal praktisch.

Neem de tijd voor de vrijehandtekening en probeer de relatieve verhoudingen van de dominante hoeken en vlakken zo nauwkeurig mogelijk weer te geven. Maak je geen zorgen over overbodige elementen (zoals deuren, ramen of koepels): het gaat erom de basisvorm in perspectief vast te leggen, die zich in drie richtingen uitstrekt. Zorg ervoor dat de randen en hoekpunten duidelijk zijn gedefinieerd.

Je kunt ook beginnen met een tekening of foto van een gebouw of monument met duidelijke verdwijnlijnen in de randen of vlakken, in het perspectief dat je wilt nabootsen. Deze foto dient alleen om het benaderende perspectief van de hoofdvorm in de tekening te bepalen, dus hoeft deze er helemaal niet uit te zien als de hoofdvorm die je daadwerkelijk wilt tekenen.

Zodra de tekening naar tevredenheid is voltooid, of je je foto op het papier hebt geplakt, trek je hulplijnen vanuit de randen van de voorvlakken om de drie verdwijnpunten te vinden. Gebruik een liniaal of meetlat om de buitenranden van de vorm te verlengen totdat deze hulplijnen elkaar in drie verschillende punten snijden. In een kubus heb je drie randen die naar elk verdwijnpunt wijzen; gebruik deze in combinatie om verschillen te overbruggen en het punt te vinden dat alle drie de verdwijnpunten het beste definieert.

De verdwijnlijndriehoek . Verbind vervolgens deze drie verdwijnpunten met drie verdwijnlijnen. Je hebt de verdwijnlijndriehoek gedefinieerd die de primaire vorm zal definiëren (en meestal zal bevatten).

Drie-puntsperspectief: de verdwijnlijndriehoek

Dit is het moment om te kijken naar de algehele plaatsing van de verdwijnpunten ten opzichte van de hoofdvorm en de ruimte eromheen die in de uiteindelijke tekening zichtbaar zal zijn. Je kunt de contouren alvast schetsen, of andere grote vormen rond de hoofdvorm tekenen, om er zeker van te zijn dat je het gewenste effect krijgt.

Het construeren van hulphorizonlijnen . Teken vervolgens de drie hulphorizonlijnen door elk verdwijnpunt en loodrecht op de tegenoverliggende verdwijnlijn. Er zijn twee manieren om dit te doen. De snelste manier is om een ​​grote winkelhaak te gebruiken, waarbij je één zijde tegen elke verdwijnlijn legt en deze heen en weer schuift langs de lijn totdat de andere arm precies op het verdwijnpunt ligt. Teken vervolgens de lijn.

Driepuntsperspectief: het construeren van de hulphorizonlijnen

Een nauwkeurigere methode bij grote tekeningen is om de loodlijnen te construeren met behulp van een lang stuk vislijn, henneptouw (geen rekbaar katoen) of een strook karton als passer. Bevestig met je duim, een punaise of een stukje plakband het ene uiteinde van de passer bij het verdwijnpunt en trek met het andere uiteinde een brede potloodboog over de tegenoverliggende verdwijnlijn. (Steek de punt van het potlood door een lus in het touw of een klein gaatje in de kartonnen strook.) De boog moet de verdwijnlijn snijden in twee punten die ver uit elkaar liggen. Trek vervolgens twee elkaar snijdende bogen met het middelpunt op elk van deze nieuwe punten, of meet met een liniaal de helft van de afstand ertussen.

In de afbeelding zijn twee bogen getekend rond vp ₁ en vp ₂ , en door vp ₃ , om de nieuwe punten X en Y te definiëren . Snijdende bogen getrokken vanuit X , Y en vp ₃ creëren de nieuwe punten P1 en P2 ; lijnen naar deze punten vanuit de corresponderende verdwijnpunten creëren twee hulphorizonlijnen. De kijkrichting ( dv ) bevindt zich altijd op het snijpunt van alle drie de hulphorizonlijnen, dus de derde lijn kan eenvoudig worden getrokken vanuit vp ₃ door dv naar de tegenoverliggende verdwijnlijn. Je krijgt dan een verdwijnlijndriehoek die lijkt op de driehoek die hierboven is weergegeven.

Heb ik niet ergens anders gezegd dat het uit de vrije hand plaatsen van verdwijnpunten tot vertekeningen leidt? Nee: het is de onhandige schaalvergroting van de tekening ten opzichte van de afstand tussen de verdwijnpunten die vertekeningen veroorzaakt. Als je drie hulphorizonlijnen loodrecht op hun verdwijnlijnen staan, als ze elkaar in één punt ( dv ) snijden, en als dit punt zich binnen de verdwijnlijndriehoek bevindt, dan definieert de driehoek een geldige (fysisch mogelijke) perspectivische ruimte voor een rechthoekig lichaam.

Het construeren van de gezichtscirkel . Nu voegen we de gezichtscirkel van 90° in . Hiervoor moet u (1) het middelpunt van een van de drie verdwijnlijnen (die twee verdwijnpunten verbindt) vinden, (2) een halve cirkel van Thales over de verdwijnlijn tekenen, (3) de hulphorizonlijn die de verdwijnlijn snijdt, verlengen tot de halve cirkel, (4) een lijn parallel aan de verdwijnlijn construeren, en ten slotte (5) een tweede boog terug naar deze parallelle lijn tekenen. Het snijpunt van deze boog met de parallelle lijn definieert de straal van de gezichtscirkel van 90° rond dv .

Driepuntsperspectief: het construeren van de gezichtscirkel

Bij de traditionele oplossing gebruikt de kunstenaar een liniaal of de methode van snijdende bogen om het middelpunt M te vinden op de verdwijnlijnen tussen twee verdwijnpunten. In het diagram heb ik de verdwijnlijn tussen vp ₂ en vp ₃ gekozen . Wanneer bogen met gelijke straal vanuit de twee verdwijnpunten over de verdwijnlijn worden ingeschreven, snijden ze elkaar in twee punten, x en y . (1) Een lijn door deze punten definieert het middelpunt M van de verdwijnlijn.

(2) Vanuit punt M construeert de kunstenaar een halve cirkel van Thales tussen de twee verdwijnpunten, en vervolgens (3) verlengt hij de hulphorizonlijn naar de halve cirkel, die de ingeschreven verdwijnlijn snijdt in P. Dit definieert een nieuw punt C. (Voor de visuele duidelijkheid wordt de halve cirkel buiten de perspectiefdriehoek weergegeven, maar om ruimte te besparen kan deze net zo goed worden getekend zodat deze de hulphorizonlijn binnen de driehoek snijdt.)

(4) Vervolgens construeert de kunstenaar een lijn door dv die evenwijdig is aan de verdwijnlijn.

(5) Ten slotte tekent de kunstenaar een boog vanuit P met een straal gelijk aan PC , het verlengde segment van de hulphorizonlijn. Deze snijdt de lijn evenwijdig aan de verdwijnlijn in H1 of H2 , afhankelijk van waar het handiger is om de boog te construeren.

(6) De lijnstukken dv-H1 of dv-H2 zijn equivalent aan de straal van de 90°-kijkcirkel. De kunstenaar tekent deze cirkel vanuit H1 ( H2 ) met dv als middelpunt.

Het is vaak nuttig om de 60°-kijkcirkel mee te nemen, dit is een tweede cirkel met een straal gelijk aan 0,58 (58%) van de straal van de 90°-kijkcirkel. Hiermee is de perspectivische ruimte compleet.  

Het bepalen van de meetpunten . De laatste stap is het bepalen van de meetpunten. Er zijn er zes nodig als ze langs de verdwijnlijnen zijn gemarkeerd, maar slechts drie als u ze op de hulphorizonlijnen plaatst.

Hulphorizonlijnmeetpunten . Om de meetpunten op de hulphorizonlijnen te vinden, gebruikt u een gradenboog of architectendriehoek (of de traditionele methode voor het construeren van een loodlijn ) om eindloodlijnen te construeren op elke hulphorizonlijn, van dv naar de gezichtscirkel: het snijpunt met de gezichtscirkel definieert drie nieuwe punten, C1 , C2 en C3 . Teken bogen vanuit elk van deze C- punten terug naar de hulphorizonlijn, loodrecht daarop, waarbij u het verdwijnpunt op die hulphorizonlijn als middelpunt van de boog gebruikt.

Driepuntsperspectief: het bepalen van de meetpunten

Hiermee wordt de perspectiefruimte op een kleinere schaal voltooid. Ik merk dat deze hele procedure, van een blanco vel papier tot de voltooide perspectiefruimte, ongeveer 20 minuten duurt . Als je eenmaal begrijpt hoe het moet, gaat het werk snel en soepel.

U moet zeven metingen zorgvuldig uitvoeren op deze tekening (met behulp van een meetlat) om deze op ware grootte te schalen: (1) de langste afstand tussen twee willekeurige verdwijnpunten (in het voorbeeld vp ₃ tot vp ₂ ), (2) de afstand van een van deze verdwijnpunten tot het snijpunt met de hulphorizonlijn ( vp ₃ tot h ), (3) de lengte van deze hulphorizonlijn ( h tot vp ₁ ), (4) de lengte in de kijkrichting ( h tot dv ), en ten slotte (5-7) de afstand van dv tot elk van de drie meetpunten.

Deel de straal van de gewenste beeldcirkel in de tekening op ware grootte (bijvoorbeeld 160 cm) door de straal van de beeldcirkel in je perspectiefschets: vermenigvuldig alle afmetingen met dit getal. Dit geeft je de ruimte voor perspectief op ware grootte. Je perspectiefwerkvlak moet minstens zo lang zijn als de langste verdwijnlijn en zo breed als de beeldcirkel van 90°. In de voorbeeldtekening, uitgaande van een beeldcirkel van 3 meter, zou dit ongeveer 5 meter bij 3 meter zijn.

Meet op een voldoende groot oppervlak (een grote tafel, een schone houten of linoleumvloer, een schoon, vlak terras, garagevloer of oprit) de langste verdwijnlijn (in de afbeelding van vp ₂ tot vp ₁ ) en de hulphorizonlijn tot vp _3. Verbind de drie verdwijnpunten om de verdwijnlijndriehoek te definiëren. Meet de afstand van de verdwijnlijn tot dv en teken de overige twee hulphorizonlijnen vanuit de verdwijnpunten door dv . Markeer ten slotte de drie mp 's op elke hulphorizonlijn, gemeten vanaf dv .

Gebruik de tekeningschaal uit de tabel 'afstand-tot-grootte' om de tekeningschaal te berekenen : het percentage van de werkelijke objectgrootte (bij een bepaalde kijkafstand) dat de tekening van de primaire vorm moet hebben. Maak op een vel papier een ruwe schets van de primaire vorm op deze schaal en leg de schets op het formaat (de grootte van de drager) dat u wilt gebruiken om te controleren of de verhoudingen kloppen.  

Verdwijnlijn-meetpunten . De 3PP-methode met drie meetpunten is handig, maar werkt niet als het ankerpunt voor de metingen dicht bij de kijkrichting ( dv ) ligt. In dat geval kunt u beter verdwijnlijn-meetpunten gebruiken.

Voor de constructie van de gezichtscirkel werd een halve cirkel van Thales getekend rond een van de verdwijnlijnen, gecentreerd op M en de verdwijnpunten aan beide uiteinden van de verdwijnlijn snijdend. Vervolgens werd de hulphorizonlijn verlengd zodat deze de halve cirkel in een punt h' sneed . Dit is alles wat nodig is om de meetpunten op die verdwijnlijn te definiëren. (Merk op dat u stappen en werkruimte kunt besparen door de hulphorizonlijn binnen de perspectiefdriehoek te laten snijden, om zo het inwendige h' te definiëren , en van daaruit de meetpunten te construeren.)

Driepuntsperspectief: een alternatieve methode om meetpunten te definiëren.

Het punt h' zal altijd een hoek van 90° vormen met de twee verdwijnpunten op de verdwijnlijn. Dat wil zeggen, het is equivalent aan het gezichtspunt in een 2PP-rotatie van verdwijnpunten. Je kunt dus twee bogen vanuit dit punt terug naar de verdwijnlijn tekenen, waarbij je elk verdwijnpunt als middelpunt van een boog gebruikt, om de meetpunten voor de verdwijnlijn te definiëren — net zoals je dat in tweepuntsperspectief zou doen .

Verwarring over de keuze van de meetpunten voor de verdwijnlijn wordt meestal weggenomen door de volgende twee criteria:

• Het bepalende verdwijnpunt is het verdwijnpunt voor de convergentie van de randen die worden gedimensioneerd door de maatbalk. Randen die convergeren naar het verdwijnpunt aan de rechterkant ( vp ₂ ) worden dus door dat verdwijnpunt bepaald.

• Het te gebruiken meetpunt werd gedefinieerd door een boog vanuit het bepalende verdwijnpunt . Zo werd mp ₄ gedefinieerd door een boog met vp ₂ als middelpunt . Daarom is mp ₄ het meetpunt dat gebruikt moet worden bij het dimensioneren van randen die naar dat verdwijnpunt toe lopen. De hoogte wordt bepaald door het verticale verdwijnpunt ( vp ₃ ), dat het middelpunt was van de boog die gebruikt werd om mp ₃ te definiëren .

De meetlatten naar de verdwijnlijn moeten altijd parallel lopen aan de verdwijnlijn die het gebruikte meetpunt bevat, en niet aan een hulphorizonlijn zoals voorheen. Merk op dat er altijd twee meetpunten beschikbaar zijn voor elke afmeting. In het voorbeeld kan mp _{6 worden gebruikt om de verticale randen die teruglopen naar} vp ₃ te dimensioneren , als mp ₃ om de een of andere reden niet handig is om te gebruiken — maar in dat geval moet de meetlat parallel lopen aan de verdwijnlijn die mp ₆ bevat .

De maatstrepen in de illustratie hebben dezelfde lengte als de eerder gebruikte, en zoals u kunt zien, definiëren ze dezelfde vermindering van de perspectivische diepte. U hoeft de bestaande maatstrepen niet te herschalen of opnieuw te berekenen; lijn ze gewoon parallel uit met de juiste verdwijnlijn.

Omdat de halve cirkel op M deel uitmaakt van de procedure voor het bepalen van de beeldcirkel, en elke verdwijnlijn kan worden gebruikt om de beeldcirkel te definiëren, moet u rekening houden met de locatie van uw ankerpunten in de perspectiefruimte en de halve cirkel van Thales rond de verdwijnlijn plaatsen waar meetpunten het meest geschikt zijn.

Bijvoorbeeld: ik had het ankerpunt oorspronkelijk in de voorste onderhoek van de kubus geplaatst; op die locatie werkte mp ₃ prima, maar de andere twee punten creëerden sterk hellende meetlijnen die onnauwkeurigheden zouden introduceren. De beste alternatieve punten zouden te vinden zijn op de bovenste verdwijnlijn (tussen vp ₁ en vp ₂ ), dus ik had de kijkcirkel moeten beginnen door de eerste halve cirkel aan die kant te plaatsen.  

Het construeren van een 3PP-kubus
(perspectiefschetsmethode)

Zodra je de 3PP-ruimte hebt geconstrueerd, kun je beginnen met de constructie van de kubus of de primaire vorm. Deze uitleg laat de procedures voor het schalen van de tekening buiten beschouwing; deze worden hieronder verder uitgewerkt .

Driepuntsperspectief: het lokaliseren van de primaire vorm

Meet de perspectiefruimte af op het oppervlak waarop je de perspectieftekening maakt (vloer, oprit, terras) en plak of spijker de drager vast op het oppervlak . Zorg ervoor dat de bovenrand parallel loopt aan een van de verdwijnlijnen (of aan geen enkele, als het perspectief gekanteld is) en plaats de drager op de juiste plek in de tekening. Als je niet direct op je aquarelpapier wilt werken, maak de tekening dan na op een groot vel slagerspapier of inpakpapier en trek de tekening vervolgens over op het juiste formaat.

Markeer de dv en teken de hulphorizonlijnen, de meetpunten, het ankerpunt en de basisverdwijnlijnen door het ankerpunt.

Het diagram laat zien hoe dit gedaan wordt op een keizerlijk vel papier van 40" x 60", waarbij de dv zich onderaan bevindt. (Als je toch al die moeite doet, kun je er net zo goed een spectaculair schilderij van maken!) Voor de duidelijkheid is de omtrek van de drager in de volgende illustraties weggelaten, hoewel ervan wordt uitgegaan dat je met de drager werkt.

Driepuntsperspectief: het construeren van maatstaven

De laatste voorbereidende stap is het tekenen van de maatstrepen. Doe dit vanuit het midden van de ruimte ( dv ), omdat elke maatstreep parallel moet lopen met de bijbehorende hulphorizonlijn. Dit gaat het makkelijkst door de maatstreep op een apart vel papier te tekenen, direct boven de hulphorizonlijnen.

Teken de maatstrepen op de perspectivische lengte die ze in de ruimte hebben, zodat je ze met één uiteinde tegen het ankerpunt kunt uitlijnen. De lengte van de maatstrepen bepaalt de afmetingen van de primaire vorm in de tekening, dus zorg ervoor dat deze nauwkeurig zijn. Als de afmetingen van een gebouw bijvoorbeeld 150 voet lang, 75 voet breed en 36 voet hoog zijn, en je de lengte van het gebouw gebruikt om de afmetingen van de tekening te schalen, dan zijn de verhoudingen tussen de maatstrepen 1,00:0,50 en 1,00:0,24. Omdat we een kubus tekenen, zullen alle drie de maatstrepen even lang zijn, dus definiëren we ze door een cirkel rond dv te tekenen (zie afbeelding hierboven).

Driepuntsperspectief: constructie van de verticale voorgevel

De rest is kinderspel. Lijn eerst de verticale meetlat parallel uit met de verticale hulphorizon, met het onderste uiteinde op het ankerpunt. Trek een lijn van mp ₃ door het bovenste uiteinde van de meetlat naar de verticale verdwijnlijn (dat wil zeggen, de lijn parallel aan de meetlat die je gebruikt). Dit definieert de hoogte van de voorkant van de kubus.

Gebruik een meetlat, touw of kartonnen strook, uitgelijnd met het onderste verdwijnpunt, om een ​​lijn te trekken van het ankerpunt naar de lijn van de verticale meetlat naar mp _3. Dit is de voorste verticale lijn. Gebruik de meetlat, het touw of de kartonnen strook om de uiteinden van deze verticale lijn te verbinden met de twee zijverdwijnpunten en teken de voorste boven- en onderrand van de vorm.

Driepuntsperspectief: de linkerkant construeren

Gebruik vervolgens de tweede meetlat om de diepte aan één zijde te definiëren (naar mp ₁ , het meetpunt op de hulphorizonlijn parallel aan de gebruikte meetlat). Wanneer één uiteinde van de meetlat is uitgelijnd met het ankerpunt, bevindt de achterhoek van de kubus zich op het punt waar de lijn van het andere uiteinde van de meetlat naar mp ₁ de linkeronderrand van de figuur kruist. Markeer dit punt.

Lijn uw liniaal opnieuw uit met vp ₃ en trek een lijn van dit punt naar de linkerbovenrand: dit is de verticale achterlijn van de kubus. Verbind de uiteinden van deze verticale lijn langs verdwijnlijnen met vp _2. Deze lijnen definiëren de linkerboven- en linkeronderrand van de figuur.

Driepuntsperspectief: de rechterkant construeren

Gebruik de derde maatstreep om de tegenoverliggende zijde te construeren, de hoeken te definiëren en deze zoals eerder met de verdwijnpunten te verbinden.

Werk de tekening zo goed mogelijk bij om visueel te controleren of de uiteindelijke perspectieftekening aan je verwachtingen voldoet. Voeg vervolgens eventuele andere objecten in de omgeving rond de hoofdvorm toe, of perspectiefdetails op het oppervlak ervan (deuren, ramen, enz.).

Driepuntsperspectief: perspectiefvervormingen

Als u bekend bent met het 3PP-mechanisme, begrijpt u beter hoe u het effectief kunt gebruiken. Het diagram (hierboven) geeft enkele aanwijzingen over de schaal, plaatsing en uitsnijding van de vormen:

• Over het algemeen zijn vertekeningen richting de zijverdwijnpunten veel storender dan vertekeningen richting het onderverdwijnpunt: kies waar mogelijk voor een verticaal of vierkant formaat .

• Vormen kunnen onder de 90°-rand worden geplaatst — een hoek van 90° die de twee verdwijnpunten aan de zijkanten (rode lijn) snijdt — om hoogte of verticale schaal te benadrukken, maar vormen mogen niet te dicht bij de rand aan weerszijden worden geplaatst. (Alle mogelijke locaties van de rechte hoek van deze rand worden gedefinieerd door een cirkel van Thales die onder de horizonlijn is geconstrueerd.)

• Dezelfde regels voor de beeldcirkel gelden om perspectiefvervormingen te verminderen , maar de cirkel kan naar beneden worden verschoven ten opzichte van de kijkrichting, alsof deze door de verticale diepte van de horizonlijn wordt weggetrokken. Het is beter om te denken in termen van een beeldkolom gecentreerd rond het hoofdpunt, die zich uitstrekt van onder de 90°-grens tot boven de horizonlijn (waar wolkenlagen in perspectief de diepte op afstand kunnen vergroten om de verticale diepte in evenwicht te brengen). Elk formaat dat binnen een kolom van 40° tot 60° past, levert een fraai beeld op.

Nadat je de perspectiefelementen hebt aangebracht, maak je het tekenoppervlak voorzichtig los van de tafel, vloer of het terras en leg je het op je schilderoppervlak om de hulplijnen, meetpunten en andere overbodige elementen uit te gummen, of om de perspectiefcontouren over te brengen op het eigenlijke schilderoppervlak. Wanneer de tekening volledig schoon is, voeg je met de hand eventuele extra contouren of hulplijnen toe voordat je begint met schilderen.

Driepuntsperspectief: voltooide tekening

Het diagram toont de voltooide perspectiefvorm, wederom binnen het monumentale keizerlijke formaat van 40"x60". In dit verkleinde diagram lijkt de basisvorm weinig veranderd ten opzichte van de oorspronkelijke perspectiefschets. Maar in de praktijk zult u, ondanks alle geïnvesteerde moeite, zeer tevreden zijn met de verbeterde perspectiefnauwkeurigheid en "gewicht" van de voltooide tekening in vergelijking met alles wat u met de hand zou kunnen bereiken. 

de methode voor het construeren van de horizonlijn

Twee belangrijke problemen met de perspectiefschetsmethode zijn dat de hoeken van de primaire vorm ten opzichte van het gezichtspunt bij benadering worden bepaald door middel van een schets, en dat de 3PP-methoden losgekoppeld worden van de procedures voor het schalen van de tekening binnen de gezichtscirkel. De werkelijke perspectiefhoeken en schaal van de gezichtscirkel worden afgeleid uit de tekening, in plaats van dat ze van tevoren gegeven zijn. Een alternatieve methode is om te beginnen met de gezichtscirkel en van daaruit de verdwijnpunten te construeren. Deze methode begint met het specificeren van de locatie van de horizonlijn (een horizontale verdwijnlijn boven of onder de kijkrichting), daarom noem ik het de horizonlijnmethode van 3PP-constructie, hoewel de gezichtscirkelmethode ook een geschikte benaming is.

Een bespreking van de 3PP-geometrie zal verduidelijken hoe deze methode werkt. Omdat alle parallelle lijnen convergeren naar hetzelfde (enkele) verdwijnpunt (perspectiefregel 6 ), en de 3PP-verdwijnpunten visuele stralen definiëren die loodrecht op elkaar staan, worden de 3PP-verdwijnpunten equivalent gedefinieerd door de drie rechte hoeken van een kubus die kan worden gedraaid of geroteerd rond een voorste hoek die vastligt in de kijkrichting (diagram, rechts).

Deze randen convergeren naar de drie rechte verdwijnpunten bij de verdwijnlijnen voor de drie vlakken gedefinieerd door de drie voorvlakken van de kubus (perspectiefregel 14 ). Daarom zullen de verdwijnlijnen tussen de paren verdwijnpunten parallel lopen aan de snijpunten van de drie voorvlakken van deze kubus met het beeldvlak (groen, gevolg van perspectiefregel 11 ). Als gevolg hiervan hebben we de geometrie van de 3PP-verdwijnpunten gereduceerd tot de geometrie van een driezijdige piramide die door het beeldvlak wordt gestoken onder een willekeurige hoek en rotatie.

Zoals eerder uitgelegd, biedt het cirkel-van-zicht-framework een methode om de exacte locatie van elk verdwijnpunt te specificeren als een lijn die rond het gezichtspunt, dat in het beeldvlak is gevouwen, is gedraaid onder de vereiste hoek. Wat we nodig hebben, is een manier om deze vouwing uit te voeren voor elementen van de 3PP-"piramide".

Dit wordt gedaan door de vaste hoek van de kubus naar voren te schuiven totdat deze samenvalt met het gezichtspunt . In die positie definiëren de drie ribben drie visuele stralen naar de verdwijnpunten (magenta lijnen, diagram rechtsboven). Belangrijker nog: de hoogte van de piramide is nu gelijk aan de kijkafstand en dus aan de straal van de 90°-cirkel van het gezichtsveld (diagram hieronder). 

Het vouwen van een piramidevormige rechthoekige driehoek in het beeldvlak

In deze 3PP-geometrie zijn twee soorten vouwoperaties mogelijk. Ten eerste zijn er de hulplijnvouwen die de binnenhoek definiëren tussen een piramideribbe, of het piramidevlak loodrecht daarop, en de kijkrichting. Deze worden gevonden door een verticaal gedeelte van de piramide, gedefinieerd door een hulphorizonlijn, in het beeldvlak te vouwen. Bijvoorbeeld de binnendriehoek PVC, gedefinieerd door de hulphorizonlijn PC in het bovenstaande diagram. Deze driehoek bevat de twee driehoeken VdvC en VdvP , die elk een rechte hoek bij dv hebben . De vouw brengt lijn Vdv in het beeldvlak als x'dv . Omdat ribbe Cdv continu is met ribbe Pdv , blijft de rechte hoek bij dv behouden. En de beeldribbe Cx' = CV en Px' = PV . Daarom is, op grond van driehoeksgelijkheden, de beeldhoek 1' gelijk aan de binnenhoek 1 , de hoek tussen de kijkrichting en het vlak ABV .

Deze vouw identificeert ook (bij Cx'dv ) de hoek tussen het verdwijnpunt C en de kijkrichting, zodat deze neerwaartse vouw van een binnenste gedeelte van de perspectiefpiramide geometrisch identiek is aan de vouw van het gezichtspunt in de kijkcirkel die wordt gebruikt om verdwijnpunten naar de kijkrichting te roteren.

Het tweede type vouwoperaties zijn de verdwijnlijnvouwen die een buitenhoek van een vlak van de perspectiefpiramide (hoek 2 ) definiëren als een "bovenaanzicht" van de hoek in het beeldvlak (hoek 2' ). Dit is de hoek, op het vlak van de 3PP-piramide, tussen de ribbe van driehoek ABV en de hoogte PV . De vouw wordt bereikt door een lijn ( ab ) te construeren die de kijkrichting evenwijdig aan de verdwijnlijn ( AB ) snijdt. Deze lijn snijdt de kijkcirkel in x' . Omdat Vdv gelijk is aan x'dv , is de lijn Px' gelijk aan lijn PV , de hoogte van ABV . Daarom snijdt een boog geconstrueerd op P met straal Px' de hulphorizonlijn in x , en Px = PV . De rechthoekige driehoek ABx is dus het loodrechte aanzicht van de verkorte driehoek ABV , en x is het hulpgezichtspunt voor de horizonlijn AB .

drie rechthoekige driehoeken die uit de 3PP-piramide zijn gevouwen

Het diagram (hierboven) toont de drie mogelijke verdwijnlijn-vouwen en hulpgezichtspunten ( x , y en z ) geconstrueerd vanuit een 3PP-verdwijnlijn-driehoek. Bestudeer dit diagram zorgvuldig totdat u begrijpt hoe elke vouw is gemaakt.

De meetkunde van driehoeken is efficiënt: het definiëren van één zijde met zijn twee aangrenzende hoeken, of twee zijden met hun gemeenschappelijke hoek, definieert de rest van de driehoek. Daarom zijn slechts twee vouwoperaties nodig om het beeld van een 3PP-verdwijnlijndriehoek te definiëren: één hulpvouw langs de horizonlijn en één vouw langs de verdwijnlijn. Dit is voldoende om de locatie van alle drie de verdwijnpunten en verdwijnlijnen te definiëren ten opzichte van de kijkrichting en de kijkcirkel.

Tot slot zorgt de 3PP-constructie ervoor dat de kijkrichting niet langer parallel loopt aan het grondvlak. Dit creëert een aantal nieuwe kenmerken in de perspectivische geometrie, die met name de schaal van de 3PP-tekening beïnvloeden. Voorlopig beschrijf ik alleen deze geometrie en definieer ik een paar nieuwe termen (zie diagram hieronder). 

Aanzicht van de 3PP-geometrie

In dit voorbeeld gaan we ervan uit dat het perspectief naar beneden gericht is ten opzichte van het grondvlak: het kan net zo goed naar boven gericht zijn (zoals de top van een wolkenkrabber gezien vanaf de grond) of gekanteld (zoals een stad gezien vanuit een draaiend vliegtuig), een probleem dat ik aan de lezer overlaat. In het geval van een naar beneden gericht perspectief:

• Het beeldvlak staat schuin ten opzichte van het grondvlak , evenals de kijkrichting. Daardoor eindigt de kijkrichting niet in een verdwijnpunt, maar in een fixatiepunt , een fysiek punt op de grond. Deze fixatieafstand is doorgaans anders dan de afstand van het object vanaf het stationaire punt tot de primaire vorm.

• Het stationpunt S bevindt zich nog steeds direct onder het gezichtspunt, maar nu verschijnt het stationpunt op het beeldvlak, waar het beeld s equivalent is aan het verticale verdwijnpunt ( vp ₁ ).

• De horizonlijn bevindt zich nu boven de kijkrichting in de beeldcirkel, wat betekent dat het hoofdpunt, het verdwijnpunt voor de centrale terugtrekking van de kijker (bij p ), niet langer hetzelfde is als het orthogonale verdwijnpunt (bij h ), het verdwijnpunt van de terugtrekking in het grondvlak. 

• De primaire vorm verschijnt in rotatieverkorting — de verticale en horizontale dimensies hebben een verschillende schaal. Verkorting wordt gecorrigeerd met behulp van de meetpunten; meetbalken parallel aan het beeldvlak kunnen in het beeldvlak naar elke gewenste hoek worden gedraaid. Het is echter soms nuttig om de mate van verticale verkorting te schatten, bijvoorbeeld bij het plannen van de beeldopstelling. Deze wordt berekend met een cosinuscorrectie voor verkorting:

waarbij θ de horizonhoek is . Omdat de kijkhoek naar het grondvlak alleen gelijk is aan de horizonhoek op het fixatiepunt, moet een meetlat die op een ander punt is vastgesteld, worden berekend met de juiste kijkhoek naar dat punt op het grondvlak.

• De hoekgrootte of beeldgrootte van een object wordt bepaald door de zichtlijnafstand vanaf het gezichtspunt , die simpelweg de hypotenuse is van de rechthoekige driehoek gevormd door de objectafstand en de kijkhoogte.

Deze punten moeten worden begrepen om de juiste afstands- en afmetingsberekeningen te kunnen uitvoeren bij het schalen van de tekening in een 3PP-constructie.  

Het maken van een 3PP-tekening
(horizonlijnmethode)

De horizonlijnmethode is gebaseerd op de aanname dat de meeste driedimensionale perspectiefproblemen betrekking hebben op een kijker wiens blikrichting niet parallel loopt aan het grondvlak. De kijker kijkt ofwel omhoog, naar de top van een toren, gebouw, berg of klif; ofwel kijkt de kijker omlaag, vanaf een uitkijkpunt op de top van een toren, gebouw, berg of klif. 

Benaderende horizonlijnmethode . Bij deze methode plaatst de kunstenaar de horizonlijn en verdwijnpunten naar eigen inzicht of op gevoel, maar gebruikt de piramidevouwen om deze oriëntatiepunten met elkaar in overeenstemming te brengen.

De eerste stap is het plaatsen van de horizonlijn ten opzichte van het hoofdpunt: erboven (voor een neerwaartse kijkrichting) of eronder (voor een opwaartse kijkrichting). Vervolgens bepaalt de kunstenaar met behulp van een tekendriehoek de hoek van 90° bij een van de diagonale verdwijnpunten en verlengt deze lijn tot deze de middellijn onder de kijkcirkel snijdt: dit is het verticale verdwijnpunt ( vp ₁ ). 

Driepuntsperspectief: de horizonlijn roteren

Het is handig om deze hoek te halveren om de diagonale kijkhoek te vinden (45° ten opzichte van de horizonlijn of de visuele stralen vp ₁ ), aangezien dit de kijkhoogte boven het grondvlak in de diepte projecteert.

Vervolgens bevindt het tweede verdwijnpunt ( vp ₂ ) zich op de horizonlijn, ergens links van de middellijn. Een liniaal die van dv naar dit punt wordt gelegd, geeft de kijkhoek van een kubusvorm in perspectief in de kijkrichting weer. 

driepuntsperspectief: ongeveer plaats van vp ₂

Zodra de locatie van het punt is bepaald, teken je de verdwijnlijn tussen de twee verdwijnpunten. Vervolgens moet je een loodrechte lijn trekken vanuit deze verdwijnlijn door de kijkrichting ( dv ), zoals hier beschreven .

De stappen zijn: (1) teken een cirkelboog rond dv die de verdwijnlijn snijdt in twee ver uit elkaar gelegen punten, a en b ; (2) teken vanuit elk punt een boog met een straal groter dan de helft van de segmentlengte tussen hen; (3) teken een lijn door het dubbele snijpunt van de bogen om het normaalpunt c te definiëren ; (4) teken een lijn vanuit c door dv totdat deze de horizonlijn snijdt aan de tegenoverliggende zijde van de kijkcirkel. Dit is de hulphorizonlijn voor de geconstrueerde verdwijnlijn; deze bepaalt de positie van vp ₃ . 

Driepuntsperspectief: voltooide "bij benadering" perspectiefdriehoek

Construeer de derde verdwijnlijn en de bijbehorende hulphorizonlijn vanuit vp ₂ door dv .

Zoek de interne of externe hoogtepunten op de hulphorizonlijnen en bepaal vanuit deze punten de zes meetpunten op de verdwijnlijnen. (Het bovenstaande diagram toont één intern hoogtepunt, h' , en de twee meetpunten die daaruit zijn geconstrueerd.) Hiermee is de driepuntsperspectiefdriehoek voltooid. 

Methode van de exacte horizonlijn . In sommige gevallen (zoals hieronder geïllustreerd) is het wenselijk om de drie verdwijnpunten nauwkeurig te bepalen. In dat geval worden de piramidevouwen nauwkeurig gedefinieerd met een gradenboog of door de tangensverhouding voor de gewenste hoek toe te passen op de straal van de cirkel die loodrecht op het gezichtspunt staat.

Vereist is één hulplijnvouw langs de verticale hulplijn (middellijn) om de helling van de horizonlijn en de locatie van het verticale verdwijnpunt ( vp ₁ ) vast te stellen, en één verdwijnlijnvouw langs de horizonlijn om de links/rechts-plaatsing van vp ₂ en vp ₂ vast te stellen .

Het onderstaande diagram laat zien hoe deze bewerkingen een exacte neerwaartse kijkhoek van 25° naar het grondvlak (opwaartse horizonhoek van 25°) opleveren, en hoe vp ₂ 55° links van de middellijn wordt geplaatst. Hierdoor komt vp ₃ 35° rechts van de middellijn te liggen. 

Drie-puntsperspectief: exacte rotatie van de verdwijnpunten

De verdwijnlijnen worden op dezelfde manier toegevoegd als voorheen; de hulpverdwijnlijnen kunnen direct getekend worden als lijnen van de verdwijnpunten door dv naar de tegenoverliggende verdwijnlijn, omdat de verdwijnpunten al nauwkeurig bepaald zijn.

Meetpunten zijn toegevoegd met behulp van de hierboven beschreven "alternatieve" horizonlijnmethode . 

Driepuntsperspectief: een voltooide "exacte" perspectiefdriehoek

Hoewel deze 3PP-driehoek sterk lijkt op de driehoek die is geconstrueerd op basis van een benaderende inschatting van de juiste hoeken, zijn hier alle perspectivische oriëntatiepunten exact geplaatst op basis van vooraf vastgestelde waarden. Dit is met name belangrijk wanneer het doel een 3PP-weergave van een specifieke primaire vorm vanuit een specifieke locatie is – zoals gebruikelijk is bij architectuurtekeningen of historische reconstructies – of wanneer een bepaalde rangschikking van belangrijke vormen binnen het beeld vereist is.

Diagonale verdwijnpunten . Het is doorgaans erg nuttig om een ​​extra stap te zetten en de diagonale verdwijnpunten op de horizonlijn te bepalen. Zodra dit is gedaan, kan een eenheidsmaat op de stationslijn over het grondvlak worden geprojecteerd, met behulp van de methode waarbij een eenheidsmaat in de diepte wordt geprojecteerd vanuit de diagonale verdwijnpunten. 

Drie-puntsperspectief: het lokaliseren van de centrale DVP's

In feite is er geen aparte rotatie nodig om de diagonale verdwijnpunten vanuit het hulpgezichtspunt te definiëren: ze bevinden zich al op het snijpunt van de boog die gebruikt wordt om het hulpgezichtspunt te definiëren met de horizonlijn (zie diagram hierboven). De methode om de diagonale verdwijnpunten rond het hulpgezichtspunt A te roteren , zodat een hoek van 90° wordt gehalveerd door de verticale hulphorizonlijn (middellijn), wordt hier eenvoudigweg getoond ter bevestiging hiervan.

Zodra deze diagonale verdwijnpunten zijn vastgesteld, fungeert ovp als het orthogonale verdwijnpunt, de convergentie voor dieptevermindering parallel aan het grondvlak (de centrale dieptevermindering van het grondvlak ); maar dv blijft het hoofdpunt, de convergentie voor dieptevermindering parallel aan de kijkrichting (de centrale dieptevermindering van de kijker ). De diepte van transversalen loodrecht op ovp wordt bepaald door diagonalen naar dvp ₁ en dvp ₂ ; de diepte van transversalen loodrecht op dv wordt bepaald door verdwijnlijnen naar punten op de kijkcirkel. 

Het schalen van de 3PP-tekening . Deze taak is complexer dan bij een één- of tweepuntsperspectief, maar ik beschrijf het hier omdat ik het nergens anders besproken heb gezien. Een minimale toepassing van trigonometrie is vereist, zowel om de basisprincipes te valideren als om rekenkundige snelkoppelingen of oplossingen voor complexe constructieproblemen te bieden.

Constructiemethoden . Er zijn al drie schaalrichtlijnen voor tekeningen beschikbaar: (1) de gezichtscirkel en de vele kijkhoeken die daarbinnen berekend kunnen worden; (2) de kijkhoogte in de diepte , die wordt toegevoegd wanneer de horizonlijn wordt gedraaid; en (3) een grondlijnschaal , die in combinatie met het orthogonale verdwijnpunt ( ovp ) wordt gebruikt om een ​​eenheidsdimensie in de diepte te projecteren , om zo objecten in de diepte bij benadering te lokaliseren en hun beeldgrootte te schalen. Mits de beeldschaal en de perspectiefnauwkeurigheid niet van cruciaal belang zijn, zijn deze bijna altijd voldoende om de 3PP-tekening te schalen. 

driepuntsperspectief: terugtrekking van het grondvlak

Er kunnen twee schaalmethoden worden gebruikt. In het eerste voorbeeld (hierboven) wordt een willekeurige eenheidsafmeting van 50 cm, gemeten langs de stationslijn in het beeld, geprojecteerd in de perspectiefruimte door orthogonalen getrokken naar het orthogonale verdwijnpunt ( ovp ). Deze geven aan dat de kijkhoogte in de diepte ongeveer 7,2 keer de kijkhoogte is (gemeten vanaf de stationslijn) en dat het fixatiepunt zich op ongeveer 16 eenheden afstand bevindt.

Door de kijkhoogte te delen door de diepte-eenheden verkrijgt men de breedte van de eenheidsafmeting op het grondvlak. Als de kijkhoogte 300 meter is, vertegenwoordigt de eenheidsafmeting ongeveer 300/7,2 = 42 meter en bevindt het fixatiepunt zich op ongeveer 672 meter van de stationslijn – alle afstanden zijn gemeten op het grondvlak en niet langs de zichtlijn. Als de kijkhoogte 3 voet is, vertegenwoordigt de eenheidsafmeting 36/7,2 = 5 inch en bevindt het fixatiepunt zich op 80 inch afstand.

De orthogonale lijnen definiëren deze eenheidsdimensie op elke diepte; een transversaal, vastgesteld aan de basis van de primaire vorm, creëert een meetlat in eenheidsdimensies op die afstand. In het diagram (hierboven) is een meetlat weergegeven bij het fixatiepunt met een lengte van 3 eenheidsdimensies. Als de kijkhoogte 300 meter is, definieert de meetlat een breedte van 126 meter op een afstand van 672 meter. Deze beeldbalk wordt gebruikt om de grootte van het beeld van de primaire vorm langs en boven de basistransversaal af te meten. 

Drie-punts perspectief: belangrijke schaalafmetingen

De tweede methode is het vaststellen van een exacte eenheidsafmeting. Dit wordt gedaan door (1) een lijn te trekken vanuit een van de dvp's door de kijkhoogte in de diepte ( vhd ) en deze lijn te verlengen tot deze de stationlijnafbeelding snijdt, en vervolgens (2) de afstand van dit snijpunt tot het stationpunt ( vp1 ) te delen door een geschikt aantal eenheden. In het voorbeeld levert deze procedure een stationlijnlengte van 354 cm op, die handig verdeeld kan worden in zes eenheden _van 59 cm. Als de kijkhoogte 270 meter is, dan vertegenwoordigt deze eenheidsafmeting exact 45 meter op het grondvlak.

Zoals uitgelegd in de bespreking van het schalen van de tekening in de 1PP-context, vereist de plaatsing van het formaat dat de kunstenaar de juiste grootte en positie van de primaire vormafbeelding bepaalt. De belangrijkste schaalbeperking is de horizonlijnregel : de horizonlijn snijdt alle vormen op een hoogte boven hun snijpunt met het grondvlak die gelijk is aan de kijkhoogte, of zorgt ervoor dat de vormen onder de horizonlijn verschijnen met een evenredige toevoeging van hun totale hoogte. Volgens de procedure die is uitgelegd voor centraal perspectief, bepaalt de kunstenaar de verhouding tussen de kijkhoogte en de objecthoogte en plaatst hij het object zo dat de horizonlijn de objectafbeelding verdeelt of erboven staat met deze verhouding. Deze regel geldt ongeacht de hoek van de kijkrichting ten opzichte van het grondvlak.

In het voorbeeld dat ik ga uitwerken, wil ik een primaire vorm weergeven die 300 meter hoog en 125 meter breed is. Ik wil dat het bovenste gedeelte van de vorm de horizonlijn doorsnijdt, zodat het bovenste deel als silhouet tegen de lucht afsteekt. Daarom plan ik dat ongeveer 30 meter van de vorm boven de horizonlijn uitkomt en de resterende 270 meter eronder. Dit betekent dat de kijkhoogte ook 270 meter zal zijn (volgens de horizonregel ), en dat 30/300, oftewel 10%, van de afbeelding van de primaire vorm zich boven de horizonlijn bevindt.

Om perspectiefvervorming te minimaliseren en een "overzichtsbeeld" van de primaire vorm te creëren, besluit ik het fixatiepunt als ankerpunt te gebruiken. De 13e transversaal bevindt zich net achter de fixatielijn (oranje), wat een objectafstand (op het grondvlak) van minder dan 585 meter aangeeft. Nu kan de horizontale eenheidsafmeting direct worden afgeleid uit de orthogonalen langs die transversaal, en vervolgens 90° worden gedraaid om de verticale beeldafmetingen te verkrijgen. Vervolgens kan het geschatte beeldgebied van de primaire vorm worden gedefinieerd binnen de kijkcirkel (groene rechthoek).

Ten slotte worden de afmetingen van het formaat bepaald rond het primaire vormgebied, de horizonlijn, de kijkrichting of andere belangrijke compositie-elementen. Dit kan eerst gebeuren, waarbij de primaire vorm binnen het formaat wordt geplaatst, of nadat de primaire vorm binnen de beeldcirkel is bepaald. (In beide gevallen worden de afmetingen van het formaat vastgesteld als een verhouding ten opzichte van de straal van de beeldcirkel, zoals hier uitgelegd .) Gezien mijn kijkhoek en de monumentale omvang van de primaire vorm, kies ik voor een groot formaat. Het onderstaande voorbeeld is het 29"x42" (74 cm x 107 cm) dubbele olifant (VS) formaat, in portretstand en zo geplaatst dat de primaire vorm zich boven en onder de horizonlijn (gele rechthoek) bevindt.

Opmerking: als je de perspectiefgradiënten in de vorige twee diagrammen vergelijkt met de perspectiefgradiënt in centraal perspectief , lijkt de terugloop in 3PP geleidelijker — de vierkanten aan de basis van de gezichtscirkel zijn in 3PP nog steeds verticaal langwerpig, maar in 1PP horizontaal langwerpig. Dit komt doordat het grondvlak onder een meer schuine hoek wordt bekeken en daardoor minder verkort is (op het stationpunt of vp ₁ is het zicht loodrecht op het grondvlak, zoals aangegeven door de schoenafdrukken). Maar in het visuele gebied boven de locatie van de kijkhoogte in de diepte worden de twee gradiënten gelijk.

Berekeningsmethoden . De alternatieve schaalmethode maakt gebruik van berekeningen in plaats van benaderende constructie. Deze methode is preciezer en robuuster. Het onderstaande diagram toont de belangrijkste schaaltermen in relatie tot het aanzicht van het beeldvlak en de visuele stralen vanuit het gezichtspunt, en het beeldvlak zoals dat in de perspectiefdiagrammen verschijnt. 

Drie-punts perspectief: belangrijke schaalafmetingen

vp  = kijkafstand; vs  = afstand tot de beeldlijn; hvp  = horizonhoek; h  = orthogonaal verdwijnpunt (horizonlijn); p  = hoofdpunt (fixatielijn); z  = kijkhoogte in de diepte; s  = beeldstationpunt (beeldlijn); hp  = horizonhoogte; hs  = grondbeeldhoogte; hz  = beelddiepte

De enige voorbereiding die nodig is voor deze berekeningen, is het specificeren van (1) de kijkhoogte, (2) de kijkafstand loodrecht op het beeldvlak en (3) de horizonhoek. In het bovenstaande voorbeeld stel ik de kijkhoogte in op 270 meter, de kijkafstand op 1,5 m (150 cm) en de horizonhoek op 25°.

Daarnaast heb je een zakrekenmachine nodig die de drie goniometrische functies (sinus, cosinus en tangens) voor elke horizonhoek kan berekenen . In het voorbeeld is de horizonhoek 25°, dus:

sinus(25°) = 0,423
cosinus(25°) = 0,906
tangens(25°) = 0,466

Formaatafmetingen . De procedure voor het vaststellen van de formaatafmetingen wordt hier uitgelegd . Het is handig om dit eerst te doen, indien een geschikte formaatgrootte van tevoren kan worden bepaald, omdat dit een referentiekader biedt voor andere schaalbeslissingen. Ik ga verder met het bovenstaande voorbeeld van de dubbele olifant .

Grondschaal . De tweede stap is het vaststellen van de grondschaal , de schaal van de stationslijn S op het beeldvlak bij s (zie het bovenstaande diagram ):

• De rol van de "horizonlijn" wordt overgenomen door een fixatielijn die door de kijkrichting loopt en parallel is aan de horizonlijn erboven of eronder. Deze fixatielijn definieert de verdwijnlijn voor alle vlakken die parallel zijn aan de kijkrichting en aan de horizonlijn (perspectiefregel 15 ), en de schaal van het beeld op "werkelijke grootte" (bij een kijkafstand van 150 cm is de straal van de kijkcirkel langs de fixatielijn 150 cm).

• De horizonhoogte , de afstand van de horizonlijn boven de fixatielijn zoals gemeten in het beeldvlak, is gelijk aan de kijkafstand vermenigvuldigd met de tangens van de horizonhoek θ . De tangens van een horizonhoek van 25° is 0,466, dus de horizonlijn bevindt zich 150 cm * 0,466 = 70 cm boven de kijkrichting.

• Het beeld van de stationslijn bevindt zich precies onder het gezichtspunt v , op punt s , dat de rechthoekige driehoek vps definieert (omdat de kijkrichting loodrecht op het beeldvlak staat). Daarom is de afstand van de stationslijn (de afstand van het beeldvlak onder het gezichtspunt, of vs ) de hypotenuse van de rechthoekige driehoek vps . Dit is gelijk aan de kijkafstand gedeeld door de sinus van de horizonhoek, oftewel 150 cm / 0,423 = 355 cm.

• De hoogte van het grondbeeld is de omvang van het beeldvlak tussen de horizonlijn en de stationlijn, oftewel de hypotenuse van de rechthoekige driehoek hvs . Deze wordt berekend door de afstand tot de stationlijn te delen door de cosinus van de horizonhoek: 355 cm / 0,906 = 392 cm.

• Het beeld van de stationslijn bevindt zich onder de fixatielijn op een afstand in het beeldvlak gelijk aan ps , oftewel de hoogte van het grondbeeld ( hs ) min de horizonhoogte ( hp ): 392 cm – 70 cm = 322 cm.  

• Ten slotte geeft formule 5 de beeldverhouding voor de schaal van de stationslijn. Als de kijkhoogte 270 meter is en de afstand tot de stationslijn 355 cm, dan is de beeldschaal van de stationslijn 3,55 m / 270 cm = 1,31%; ofwel, een eenheidsmaat van 1 centimeter in de stationslijn is gelijk aan 270 / 3,55 = 76 cm op het grondvlak. Om de eenheidsmaat van 45 meter op het grondvlak om te zetten naar eenheden van het beeldvlak op de stationslijn: 45 * 0,0131 m = 59 cm eenheidsmaat in de stationslijn. Dit is de grondschaal , zoals samengevat in de volgende formules:

waarbij de grondeenheid de meeteenheid is die het meest geschikt is voor het in kaart brengen van objecten op het grondvlak (bijvoorbeeld 1 meter of 100 meter), en de kijkafstand, de afstand tot de stationslijn en de kijkhoogte allemaal in dezelfde eenheden worden gemeten.

• Tot slot kunnen de diagonale verdwijnpunten worden gebruikt om de afmeting van de grondschaal in de diepte te projecteren. Het diagram (hierboven) laat zien dat de lijn van 270 meter, die is vastgesteld door de afmeting van 45 meter in de diepte te projecteren, precies samenvalt met de locatie van de kijkhoogte die in de diepte wordt geprojecteerd door de rotatie van het horizonvlak.

Fixatielijnschaal . De derde en laatste stap is het bepalen van de beelddiepte z op het beeldvlak voor een object op het grondvlak op afstand X van de stationlijn, of de objectafstand X op het grondvlak voor een bepaalde beelddiepte z op het beeldvlak. Deze relaties worden gedefinieerd in de volgende formules: 

Driepuntsperspectief: ankerpunt en ankerlijn

Het beeldvlak strekt zich uit van de beeldlijn ( s ) tot de horizonlijn ( h ) en definieert de horizonhoogte ( sh ). Dit beeldvlak kan worden gedupliceerd door een secundair beeldvlak Sx , dat zich op enige afstand ervoor en parallel daaraan bevindt. Het secundaire vlak snijdt de horizonlijn in x , op een afstand O van het gezichtspunt V , en snijdt het grondvlak in de beeldlijn ( S ), die zich op een horizontale afstand van nul van het gezichtspunt bevindt. Deze snijpunten zijn identiek aan de beeldpunten h en s , zodat de horizonhoogte sh het beeld is van de fysieke afstand Sx wanneer de objectafstand (op het grondvlak) nul is.

Door het secundaire vlak over de objectafstand X naar voren te verschuiven, verschuift het snijpunt met de grond naar S' en het snijpunt met de horizonlijn naar x' , zodat het beeld van S'x' nu zh is — het beeldpunt z bevindt zich op een beelddiepte ( zh ) onder de horizonlijn. In deze nieuwe opstelling definiëren de driehoeksverhoudingen de evenredige gelijkheid:

zh/sh = xV/x'V = OD/(X+OD)

die door middel van algebraïsche herschikking ofwel (16) de beelddiepte ( zh ) ofwel (17) de afstand van het grondvlakobject ( X ) oplost.

Met behulp van deze formules stellen we vast (voor een horizonhoek van 25°, een kijkhoogte van 270 m en een kijkafstand van 1,5 m) dat:

(8) formaatschaal = 25%(W), 36%(H)
(11) horizonhoogte = 70 cm
(11) stationlijnafstand = 355 cm
(13) grondschaal: 66 cm = 50 meter
(14) offsetafstand = 126 m
(15) grondbeeldhoogte = 392 cm
(16) beelddiepte (van fixatielijn ) = 70 cm
(16) beelddiepte (van kijkafstand in de diepte ) = 125 cm
(16) beelddiepte (van formaatbasislijn @ 500 m ) = 79 cm
(17) objectafstand (op fixatielijn) = 579 m.

Ankerlijn en ankerpunt . Uitgaande van het fixatiepunt als ankerpunt, bedraagt ​​de afstand van het object op het grondvlak 579 meter bij een kijkhoogte van 270 meter, wat een diagonale objectafstand van 639 meter tot de basis van de primaire vorm is. De schaal van de fixatielijn (afgeleid van formule 5 ) is dus :

(18) beeldschaal (op fixatielijn ) = 1,5/[579 ² +270 ² ] ^1/2
= 1,5/639 m
= 0,00235 (0,235%)

Om van beeldvlakeenheden naar grondvlakeenheden (op de fixatielijn) te gaan, deel je door de beeldschaalfactor:

1 cm = 1 cm/0,00235 = 4,26 m.

Om van grondvlakeenheden naar beeldvlakeenheden om te rekenen, vermenigvuldig je met de beeldschaalfactor. Zo creëert een object van 125 meter breed en 301 meter hoog, georiënteerd parallel aan het beeldvlak, de beeldafmetingen.

125 m * 0,00235 = 0,294 m = 29,4 cm
301 m * 0,00235 = 0,707 m = 70,7 cm.

Dit zijn de afmetingen van de meetlat voor de afbeelding op het ankerpunt (vastgesteld als fixatiepunt), zoals weergegeven in het diagram (hieronder). 

Driepuntsperspectief: ankerpunt en ankerlijn

Verwarring over de keuze van verdwijnpuntpunten en de oriëntatie van maatstaven (bij kubische vormen) wordt meestal weggenomen door de volgende drie criteria:

• Het meetpunt dat voor elke rand wordt gebruikt, is het meetpunt dat wordt gedefinieerd door een boog vanuit het bepalende verdwijnpunt . De hoogte wordt dus bepaald door het verticale verdwijnpunt ( vp ₁ ), dat het middelpunt was van de boog die werd gebruikt om mp ₂ en mp ₅ te definiëren .

• Het bepalende verdwijnpunt is het verdwijnpunt voor de convergentie van de randen die door de meetlat worden bepaald. De linkerranden van een plattegrond in het grondvlak worden dus gedefinieerd door het linkerhorizonverdwijnpunt.

• De maatstreep is altijd evenwijdig aan de verdwijnlijn die het meetpunt bevat.

de 3PP-verdwijnpunten gedefinieerd door drie ribben van een kubus

Met een plattegrond en een aanzicht van de basisvorm (diagram, rechts) kan de kunstenaar beginnen met het maken van de perspectieftekening. 

Driepuntsperspectief: het construeren van de primaire vorm

Diagram vergroot tot een gezichtsveld van 60° voor de duidelijkheid.

Het is doorgaans handig om eerst de plattegrond of de afmetingen van de tekening vast te stellen, omdat de contouren van de plattegrond elkaar niet kruisen en de volgorde van grote vormen van voor naar achter duidelijk aangeven. Hier wordt de tekening alleen op basis van het vooraanzicht gemaakt, aangezien de basis vierkant is. Alleen de kijkhoek van 60° is ter verduidelijking weergegeven.

Met behulp van de richtlijnen voor de meetpunten (hierboven) is het bepalende verdwijnpunt voor de rechterkant van de basis van de toren vp ₃ ; en dit verdwijnpunt definieert de boog voor mp ₃ (zie het diagram hierboven ). Het bepalende verdwijnpunt voor de hoogte van de toren is het verticale verdwijnpunt, vp ₁ ; en dit verdwijnpunt definieert de boog voor mp ₂ .

De meetlat van de fixatielijn wordt gebruikt om de basisbreedte van 125 meter vast te stellen. Deze afmeting wordt in de diepte geprojecteerd door de lijnen naar de tegenoverliggende meetpunten mp ₃ en mp _4. De meetlat loopt parallel aan de verdwijnlijn die de meetpunten bevat. Vervolgens bepalen de verdwijnlijnen vanuit het ankerpunt naar vp ₂ en vp ₃ de zijden van het plan.

De toren is symmetrisch aan alle vier zijden, maar de zijden zijn niet verticaal: ze definiëren een exponentiële functie die is ontworpen om de sterkte van de toren tegen sterke winden te maximaliseren. Om de perspectiefconstructie te vergemakkelijken, moeten we de centrale as vinden, die simpelweg het snijpunt is van de diagonalen van het grondplan. 

Driepuntsperspectief: voltooide tekening

Diagram vergroot tot een gezichtsveld van 60° voor de duidelijkheid.

De belangrijkste etappes van de toren worden aangegeven op een verticale meetlat. Deze lat wordt gedraaid zodat deze parallel loopt met de verdwijnlijn van het betreffende meetpunt, waarna de etappes van de toren op een verticale as worden geprojecteerd.

Er zijn twee strategieën mogelijk. De bestaande geveltekening kan worden gebruikt om de meetlat te creëren: deze tekening is op de beeldschaal die wordt bepaald door het ankerpunt op de fixatielijn, 579 meter vanaf het gezichtspunt. Hoogtepunten worden geprojecteerd op een verticale lijn die vanuit het ankerpunt wordt getrokken. Deze hoogtepunten zijn de voorste hoeken van nieuwe vierkanten, even groot als de basis van de toren, die de torenplatformen bevatten. Deze worden geconstrueerd in "steigerstijl", door verticale lijnen vanuit de vier hoeken van de plattegrond. Op elk niveau worden de steigervierkanten teruggetrokken naar de zijverdwijnpunten vanuit de voorste hoek, en de diagonaal wordt op dezelfde manier bepaald als eerder. Vervolgens wordt de plattegrond van het torenplatform binnen dit vierkant geconstrueerd, waarbij de vier hoeken langs de diagonalen liggen.

De alternatieve methode is om de hoogtepunten op de centrale as te projecteren en de torenplatformen vanuit deze centrale punten te projecteren. Deze methode is ook in het diagram weergegeven: de meetlat moet aan de basis van de centrale as worden verankerd. Merk echter op dat dit punt meer dan 80 meter verder van het gezichtspunt verwijderd is dan de voorste hoek (zoals aangegeven door de dwarslijnen van 50 meter in de plattegrond), daarom moet de meetlat, met behulp van formule 18 , worden aangepast aan de nieuwe beeldafstand. Eerst wordt de toegevoegde afstand afgeleid van de hele diagonaal, die vervolgens door middel van de cosinuscorrectie wordt uitgelijnd met de kijkrichting:

basisdiagonaal = [125 ² +125 ² ] ^1/2 = 177 m
halve diagonaal = 177 m/2 = 88,5 m
afstand tot het grondvlak = 88,5 m * cosinus(10°) = 80,2

en de nieuwe grondvlakafstand (579+80 = 659) wordt gebruikt om de nieuwe beeldschaal te berekenen:

(18) beeldschaal (op de centrale as ) = ​​1,5/[659 ² +270 ² ] ^1/2
= 1,5/712 m
= 0,00211 (0,211%)

(Merk op dat de afstand van de centrale as kan worden geschat op basis van de positie ervan net voorbij de lijn van de dwarsafstand van 650 m.) Zodra de belangrijkste externe punten van het torenprofiel zijn vastgesteld, kunnen de buitenste rondingen van de toren worden getekend met een Franse curve of uit de vrije hand, en kunnen de details van de toren naar behoefte worden ingevuld. 

Driepuntsperspectief: voltooide tekening

Diagram vergroot tot een gezichtsveld van 60° voor de duidelijkheid.

En hier is de voltooide tekening. Het doel van de exacte rotatiemethode is dat de Arc de Triomphe precies achter de Eiffeltoren geplaatst kan worden, en dat beide in verhouding tot de kijkrichting en de horizonlijn gepositioneerd kunnen worden om een ​​specifiek effect te creëren.

De plattegrond van de straten in de verte is afkomstig van een Michelin-kaart van Parijs, geprojecteerd op het grondvlak met behulp van verkorte en terugliggende orthogonale vierkanten, waarbij de belangrijkste straten, vierkant voor vierkant, zo ver mogelijk naar achteren zijn uitgezet.

VOLGENDE: Geavanceerde perspectieftechnieken

Laatst herzien op 01.1.2023 • © 2023 Bruce MacEvoy

verhoging van de primaire vorm